Question

（2012•牡丹江）如圖，OA、OB的長分別是關于x的方程x²-12x+32=0的兩根，且OA＞OB．請解答下列問題：
（1）求直線AB的解析式；
（2）若P為AB上一點，且

AP

PB

=

1

3

，求過點P的反比例函數的解析式；
（3）在坐標平面內是否存在點Q，使得以A、P、O、Q為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先解x²-12x+32=0，即可求得點A與B的坐標，然后利用待定系數法即可求得直線AB的解析式；
（2）首先過點P作PH⊥x軸于點H，由

AP

PB

=

1

3

，利用平行線分線段成比例定理，即可求得AH的長，則可求得點P的橫坐標，代入一次函數解析式，即可求得點P的坐標，再利用待定系數法即可求得過點P的反比例函數的解析式；
（3）分別從PQ∥AO，AQ∥PO，AP∥OQ去分析，利用函數解析式與兩點間的距離公式即可求得答案．

解答：解：（1）∵x²-12x+32=0，
∴（x-4）（x-8）=0，
解得：x₁=4，x₂=8．
∵OA、OB的長分別是關于x的方程x²-12x+32=0的兩根，且OA＞OB，
∴OA=8，OB=4．
∴A（-8，0），B（0，4）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則

-8k+b=0 b=4

，
解得：

k= 1 2 b=4

，
∴直線AB的解析式為：y=

1

2

x+4；

（2）過點P作PH⊥x軸于點H．
設P（x，y），
∴AH=|-8-x|=x+8．
∵PH∥y軸，
∴

AP

PB

=

1

3

，
∴

AH

HO

=

1

3

，
即

x+8

-x

=

1

3

．
解得 x=-6．
∵點P在y=

1

2

x+4上，
∴y=

1

2

×（-6）+4=1．
∴P（-6，1）．
設過點P的反比例函數的解析式為：y=

k

x

，則1=

k

-6

．
∴k=-6．
∴點P的反比例函數的解析式為：y=-

6

x

（x＜0）．

（3）存在．
如圖①，若PQ∥AO，過點Q作QG⊥AO于G，過點P作PH⊥AO于H，
∵梯形OAPQ是等腰梯形，
∴AH=OG=8-6=2，QG=PH=1，
∴點Q的坐標為（-2，1）；
如圖②，若AQ∥PO，
∵OP的解析式為：y=-

1

6

x，
設直線AQ的解析式為：y=-

1

6

x+m，
∵A（-8，0），
∴-

1

6

×（-8）+m=0，
解得：m=-

4

3

，
∴直線AQ的解析式為：y=-

1

6

x-

4

3

，
設點Q的坐標為：（x，-

1

6

x-

4

3

），
∵梯形APOQ是等腰梯形，
∴PA=OQ，
∴x²+（-

1

6

x-

4

3

）²=[-8-（-6）]²+1²，
整理得：37x²+16x-116=0，
即（37x-58）（x+2）=0，
解得：x=

58

37

或x=-2（舍去），
∴y=-

1

6

×

58

37

-

4

3

=-

59

37

，
∴點Q的坐標為：（

58

37

，-

59

37

）；
如圖③，若AP∥OQ，
∵直線AP的解析式為：y=

1

2

x+4，
∴直線OQ的解析式為：y=

1

2

x，
設點Q的坐標為（x，

1

2

x），
∵AQ=OP，
∴（x+8）²+（

1

2

x）²=1²+（-6）²，
整理得：5x²+64x+108=0，
即：（5x+54）（x+2）=0，
解得：x=-

54

5

或x=-2（舍去），
∴y=

1

2

×（-

54

5

）=-

27

5

，
∴點Q的坐標為（-

54

5

，-

27

5

）．
綜上，點Q的坐標為（-2，1）或（

58

37

，-

59

37

）或（-

54

5

，-

27

5

）．

點評：此題屬于一次函數的綜合題，考查了待定系數求函數解析式、平行線分線段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．