Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)E，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】當(dāng)F點(diǎn)在線段BC上時(shí)，BD=1，當(dāng)F點(diǎn)在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD=2.

【解析】試題分析：首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的長(zhǎng)、∠AEF與∠BAC的度數(shù)，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質(zhì)與三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得CF的長(zhǎng)，繼而求得答案．

試題解析：根據(jù)題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED=90°∠EFD=60°,∠BEF=2∠FED=120°，

∴∠AEF=180°∠BEF=60°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，

∴AC=BCtan∠B=3×=，∠BAC=60°，

如圖①若∠AFE=90°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，

∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠EFD=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=×=1，

∴BD=DF= =1；

如圖②若∠EAF=90°，

則∠FAC=90°∠BAC=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=×=1，

∴BD=DF==2，

∴△AEF為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為：1或2.