Question

【題目】如圖，中，，為的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，分別與邊交于兩點

⑴求證：是等腰直角三角形；

⑵求證：；

⑶若的長為16，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）32．

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，然后利用ASA證明三角形全等，即可得到結(jié)論；

（2）由（1）可知，AE＝CF，然后得到結(jié)論成立；

（3）由（1）可知，利用全等三角形面積相等，即可求出四邊形的面積.

（1）證明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，點D為BC中點，

∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∵∠MDN＝90°，

∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF．

在△AED與△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴ED＝FD．；

（2）由（1）得，△AED≌△CFD，

∴AE＝CF，

∴BE+CF＝BE+AE=AB=AC；

（3）∵△AED≌△CFD，

∴S四邊形AEDF＝S△ADE+ S△ADF

＝S△CDF+ S△ADF = S△ADC

= AD2．

由已知可得，AD＝BD＝CD=8

∴S四邊形AEDF＝= AD2==32．