25、已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置(如圖(1)所示)時(shí),易證得結(jié)論:PA2+PC2=PB2+PD2,請(qǐng)你探究:當(dāng)點(diǎn)P分別在圖(2)、圖(3)中的位置時(shí),PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論,并利用圖(2)證明你的結(jié)論.
答:對(duì)圖(2)的探究結(jié)論為
PA2+PC2=PB2+PD2

對(duì)圖(3)的探究結(jié)論為
PA2+PC2=PB2+PD2
;
證明:如圖(2)
分析:結(jié)論均是PA2+PC2=PB2+PD2,其實(shí)要求證的是矩形性質(zhì)中的矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等.
根據(jù)矩形和直角三角形的性質(zhì),(2)如果過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,可在Rt△AMP,Rt△BNP,Rt△DMP和Rt△CNP分別用勾股定理表示出PA2,PC2,PB2,PD2,然后我們可得出PA2+PC2與PB2+PD2,我們不難得出四邊形MNCD是矩形,于是,MD=NC,AM=BN然后我們將等式右邊的值進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)PA2+PC2=PB2+PD2
(3)如圖(3)方法同(2),過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q,易證.
解答:解:結(jié)論均是PA2+PC2=PB2+PD2
(1)如圖2,過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,MN⊥AD,
∴MN⊥BC;
∵在Rt△AMP中,PA2=PM2+MA2,在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2,
在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2,在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2,
∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2,
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2
∵M(jìn)N⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,
∴四邊形MNCD是矩形,
∴MD=NC,同理AM=BN,
∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2
即PA2+PC2=PB2+PD2

(2)如圖3,過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,PQ⊥BC,
∴PQ⊥AD,
∵在Rt△AOP中,PA2=AO2+PO2,在Rt△PQB中,PB2=PQ2+QB2,
在Rt△POD中,PD2=DO2+PO2,在Rt△CQP中,PC2=PQ2+QC2
∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2,
PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2
∵PQ⊥AD,PQ⊥NC,DC⊥BC,
∴四邊形OQCD是矩形,
∴OD=QC,同理AO=BQ,
∴PA2+PC2=PB2+PD2
點(diǎn)評(píng):本題主要運(yùn)用矩形和直角三角形的性質(zhì),考查了矩形的性質(zhì)中矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等的證明方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí),則有結(jié)論:S△PBC=S△PAC+S△PCD
理由:過點(diǎn)P作EF垂直BC,分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn).
∵S△PBC+S△PAD=
1
2
BC•PF+
1
2
AD•PE=
1
2
BC(PF+PE)=
1
2
BC•EF=
1
2
S矩形ABCD,
又∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=
1
2
S矩形ABCD,∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD,∴S△PBC=S△PAC+S△PCD
請(qǐng)你參考上述信息,當(dāng)點(diǎn)P分別在圖2,圖3中的位置時(shí),S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你對(duì)上述兩種情況的猜想,并選擇其中一種情況的猜想給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上任一位置(如圖①所示)時(shí),易證得結(jié)論:PA2+PC2=PB2+PD2
以下請(qǐng)你探究:當(dāng)P點(diǎn)分別在圖②、圖③中的位置時(shí),即P在矩形ABCD的內(nèi)部和外部時(shí),線段PA2,PB2,PC2,PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論,并證明圖②(P在矩形ABCD的內(nèi)部)的結(jié)論.

答:對(duì)圖②的探究結(jié)論為
PA2+PC2=PB2+PD2
PA2+PC2=PB2+PD2
,對(duì)圖③的探究結(jié)論為
PA2+PC2=PB2+PD2
PA2+PC2=PB2+PD2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí),則有結(jié)論:S△PBC=S△PAC+

S△PCD   理由:過點(diǎn)P作EF垂直BC,分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn).

∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC(PF+PE)=BC·EF=S矩形ABCD

又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

請(qǐng)你參考上述信息,當(dāng)點(diǎn)P分別在圖2、圖3中的位置時(shí),S△PBC、S△PAC、S△PCD

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你對(duì)上述兩種情況的猜想,并選擇其中一種情況的猜想給

予證明.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年遼寧大石橋市九年級(jí)中考模擬(四)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí),則有結(jié)論:S△PBC=S△PAC+

S△PCD   理由:過點(diǎn)P作EF垂直BC,分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn).

∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC(PF+PE)=BC·EF=S矩形ABCD

又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

請(qǐng)你參考上述信息,當(dāng)點(diǎn)P分別在圖2、圖3中的位置時(shí),S△PBC、S△PAC、S△PCD

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你對(duì)上述兩種情況的猜想,并選擇其中一種情況的猜想給

予證明.

 

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