【題目】如圖1,OP∠MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形,并將添加的全等條件標注在圖上.

請你參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題:

(1)如圖2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F,求∠EFA的度數(shù);

(2)在(1)的條件下,請判斷FEFD之間的數(shù)量關系,并說明理由;

(3)如圖3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而( 1 )中的其他條件不變,試問在(2)中所得結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

【答案】160°2FE=FD3FE=FD仍然成立

【解析】

OM、ON上分別截取OB、OC,使OB=OC,分別過點B、COM、ON的垂線,兩垂線交于點Q,連接OQ,則△OBQ≌△OCQ;(1)已知∠A CB=90°,∠B=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得.∠BAC=30°.再由AD、CE分別是∠BAC∠BCA的平分線,根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC=15°,∠ECA=45°.根據(jù)三角形外角的性質即可求得∠EFA=60°;(2)FE=FD,AC上截取AG=AE,證明△EAF≌△GAF, 根據(jù)全等三角形的性質可得FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.再證得∠DFC=∠GFC,利用ASA判定△FDC≌△FGC,由此可得FD=FG,從而證得 FE=FD;(3)(2)中的結論FE=FD仍然成立,證明類比(2)的方法完成.

如圖所示,△OBQ≌△OCQ;

1)如圖2,∵∠ACB=90°,∠B=60°.

∴∠BAC=30°.

∵AD、CE分別是∠BAC∠BCA的平分線,

∴∠DAC=∠BAC=15°,∠ECA=∠ACB=45°.

∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.

(2)FE=FD.

如圖2,在AC上截取AG=AE,連接FG.

∵AD∠BAC的平分線,

∴∠EAF=∠GAF,

△EAF△GAF

∴△EAF≌△GAF(SAS),

∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.

∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.

∵∠DFC=∠EFA=60°,

∴∠DFC=∠GFC.

△FDC△FGC

∴△FDC≌△FGC(ASA),

∴FD=FG.

∴FE=FD.

(3)(2)中的結論FE=FD仍然成立.

同(2)可得△EAF≌△HAF,

∴FE=FH,∠EFA=∠HFA.

又由(1)知∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB,

∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)==60°.

∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°.

∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.

同(2)可得△FDC≌△FHC,

∴FD=FH.

∴FE=FD.

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