Question

在△ABC中

（1）如圖1，∠A=50°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BOC=

 

；
（2）如圖2，∠A=60°，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的三等分線（即∠OBC=

1

3

∠ABC，∠OCB=

1

3

∠ACB），求∠BOC的度數(shù)；
（3）如圖3，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的n等分線（即∠OBC=

1

n

∠ABC，∠OCB=

1

n

∠ACB），求∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)平分線求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三等分線求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)n等分線求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×130°=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°，
故答案為：115°；

（2）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，
∴∠OBC+∠OCB=

1

3

(180°-60°)=40°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°，

（3）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的n等分線，
∴∠OBC+∠OCB=

1

n

（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-

1

n

（180°-∠A）
=

n-1

n

•180°+

1

n

∠A．

點評：本題考查了角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，題目比較好，求解過程類似．