Question

【題目】如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），
PQ⊥OD于點(diǎn)Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過O、I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r，則當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時(shí)，求r的值．

Answer 1

【答案】解：如圖，連OI，PI，DI，
∵△OPH的內(nèi)心為I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，
，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；
過D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，
在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=3，
∴r的值為3．

【解析】連OI，PI，DI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3 ．
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心是解答本題的根本，需要知道三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心．