Question

【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．

【初步思考】

我們不妨將問題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF．

 

Answer 1

（1）HL；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；（4）∠B≥∠A．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明.

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等.

（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等.

（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．

試題解析：

（2）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，

∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH.

在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS）.∴CG=FH.

在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）.∴∠A=∠D.

在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）.

（3）如圖，△DEF和△ABC不全等.

（4）若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

考點(diǎn)：1.探究型問題；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．