Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，D點坐標（6，8），過點D作DB⊥x軸于點B，點C在y軸的正半軸上，將△BCD沿BC折疊，使得點D落在x軸上的點A處．點E從點B出發(fā)沿射線BC運動．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設以A、O、E、C為頂點的四邊形的面積為S，點E的橫坐標為a，求出S與a的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）問條件下，當E點在BC延長線上時，a為何值時，∠EDC=∠ACO．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)條件，結合對稱性，可求得OB=OC=6，可求得B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；
（2）分a＞0和a＜0兩種情況，當a＞0時，S_{四邊形AOEC}=S_△ABC-S_△BOE；當a＜0時，點E在BC的延長線上，過E作EF⊥x軸于點F，S_{四邊形AOCE}=S_梯形OCEF-S_△AEF，再代入可得到S與a的函數(shù)關系式；
（3）過D作DE⊥y軸，交BC延長線于點E，交y軸于點M，根據(jù)題意可知此時∠EDC=∠ACO，過E作EG⊥x軸于點G，則可知EG=OM=8，進一步可求得a．

解答：解：（1）∵DB⊥x軸于點B，∴∠ABD=90°
由軸對稱的性質，∠ABC=∠DBC=

1

2

∠ABD=45°，
又∵∠COB=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OB=OC，
∵D（6，8），
∴B（6，0），
∴OB=OC=6，∴C（0，6），
設直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意

b=6 6k+b=0

，解得

k=-1 b=6

，
∴直線BC的解析式為y=-x+6；
（2）當a＞0時，E點在線段BC上，如圖1，過點E作EH⊥x軸于點H，

此時OH=a，BH=HE=OB-OH=6-a，
又AB=BD=8，OC=6，
∴S=S_{四邊形AOEC}=S_△ABC-S_△BOE=

1

2

AB•OC-

1

2

OB•EH=

1

2

×8×6-

1

2

×6×（6-a）=3a+6；
當a＜0時，E點在BC的延長線上，如圖2，過點E作EF⊥x軸于點F，

此時OF=-a，F(xiàn)A=OF-OA=-a-2，EF=FB=OB+OF=6-a，
又OC=6，
∴S=S_{四邊形AOCE}=S_梯形OCEF-S_△AEF=

1

2

（OC+EF）•OF-

1

2

AF•EF=

1

2

（6+6-a）（-a）-

1

2

（6-a）（-a-2）=-4a+6；
又∵E在射線BC上，
∴a＜6，
綜上可知S與a的函數(shù)關系式為：S=

3a+6(a＞0) -4a+6(a＜0)

；
（3）如圖3，過D作DE⊥y軸，交BC延長線于點E，交y軸于點M，
則MD=OB=OC=6，MC=OA=2，
在△MCD和△OAC中，

MD=OC CD=AC MC=AO

，
∴△MCD≌△OAC（SSS），
∴∠EDC=∠ACO，
過E作EG⊥x軸于點G，則可知EG=OM=GB=8，
∵OB=6，
∴OG=2，
∴a=-2，
即當a=-2時，∠EDC=∠ACO．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和全等三角形的判定和性質、軸對稱的性質等知識點的綜合應用．求出點的坐標是利用待定系數(shù)法的關鍵，在（2）中注意分a＞0和a＜0兩種情況利用分割法求出四邊形的面積，在（3）中確定出滿足條件的E點的位置是解題的關鍵．本題難度適中，注意分類討論思想的應用．