Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段AB上一點（0＜AD＜AB）．過點B作BE⊥CD，垂足為E．將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接AF，EF．設(shè)∠BCE的度數(shù)為α．

（1）①依題意補全圖形．

②若α＝60°，則∠CAF＝_____°；＝_____；

（2）用含α的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②30，；（2）EF＝ABcosα；證明見解析．

【解析】

（1）①利用旋轉(zhuǎn)直接畫出圖形，

②先求出∠CBE＝30°，再判斷出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝30°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝α，再同（1）②的方法即可得出結(jié)論．

（1）①將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接AF，EF，如圖1；

②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，

∵α＝60°，

∴∠CBE＝30°，

在Rt△ABC中，AC＝BC，

∴AC＝AB，

∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECB＝α．

在△ACF和△BCE中，

AC＝BC，∠FCA＝∠ECB，FC＝EC，

∴△ACF≌△BCE（SAS），

∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，

∴CF＝AC，

由旋轉(zhuǎn)知，CF＝CE，∠ECF＝90°，

∴EF＝CF＝AC＝×AB＝AB，

∴＝，

故答案為30，；

（2）EF＝ABcosα．

證明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECB＝α．

同（1）②的方法知，△ACF≌△BCE，

∴∠AFC＝∠BEC＝90°，

∴在Rt△AFC中，cos∠FCA＝．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°．

∵∠ECF＝90°，CE＝CF，

∴∠CFE＝∠CEF＝45°．

在△FCE和△ACB中，

∠FCE＝∠ACB＝90°，

∠CFE＝∠CAB＝45°，

∴△FCE∽△ACB，

∴＝cos∠FCA＝cosα，

即EF＝ABcosα．