【題目】在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),以OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊OAB,Cx軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(OC2),連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊BCD,直線DAy軸于E點(diǎn).

1)求證:OBC≌△ABD

2)隨著C點(diǎn)的變化,直線AE的位置變化嗎?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出直線AE的解析式.

3)以線段BC為直徑作圓,圓心為點(diǎn)F,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),直線EF∥直線BO;這時(shí)⊙F和直線BO的位置關(guān)系如何?請(qǐng)給予說(shuō)明.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)直線AE的位置不變,AE的解析式為:;(3C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí),直線EF∥直線BO;此時(shí)直線BO與⊙F相切,理由見(jiàn)解析.

【解析】

1)由等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB,BC=BD,∠OBA=DBC,等號(hào)兩邊都加上∠ABC,得到∠OBC=ABD,根據(jù)“SAS”得到△OBC≌△ABD.2)先由三角形全等,得到∠BAD=BOC=60°,由等邊△BCD,得到∠BAO=60°,根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到∠OAE=60°,在直角三角形OAE中,由OA的長(zhǎng),根據(jù)tan60°的定義求出OE的長(zhǎng),確定出點(diǎn)E的坐標(biāo),設(shè)出直線AE的方程,把點(diǎn)AE的坐標(biāo)代入即可確定出解析式.3)由EAOB,EFOB,根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條,得到EFEA重合,所以FBCAE的交點(diǎn),又FBC的中點(diǎn),得到AOC中點(diǎn),由A的坐標(biāo)即可求出C的坐標(biāo);相切理由是由F為等邊三角形BC邊的中點(diǎn),根據(jù)“三線合一”得到DFBC垂直,由EFOB平行得到BFOB垂直,得證.

1)證明:∵△OAB和△BCD都為等邊三角形,
OB=AB,BC=BD,∠OBA=DBC=60°,

∴∠OBA+ABC=DBC+ABC,
即∠OBC=ABD

在△OBC和△ABD中,

,

∴△OBC≌△ABD.

2)隨著C點(diǎn)的變化,直線AE的位置不變,

OBC≌△ABD,

∴∠BAD=BOC=60°,
又∵∠BAO=60°,

∴∠DAC=60°,
∴∠OAE=60°,又OA=2,
RtAOE中,tan60°=,
OE=2

點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,-2),

設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把EA的坐標(biāo)代入得:

,

解得, ,

直線AE的解析式為:.

3C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí),直線EF∥直線BO;此時(shí)直線BO與⊙F相切,理由如下:
∵∠BOA=DAC=60°,EAOB,又EFOB,
EFEA所在的直線重合,

∴點(diǎn)FDEBC的交點(diǎn),
FBC中點(diǎn),

AOC中點(diǎn),又AO=2,則OC=4
∴當(dāng)C的坐標(biāo)為(4,0)時(shí),EFOB,
這時(shí)直線BO與⊙F相切,理由如下:
∵△BCD為等邊三角形,FBC中點(diǎn),
DFBC,又EFOB
FBOB,

∴直線BO與⊙F相切,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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選項(xiàng)

方式

百分比

A

社區(qū)板報(bào)

m

B

集會(huì)演講

30%

C

喇叭廣播

25%

D

發(fā)宣傳畫(huà)

10%

請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,回答下列問(wèn)題:

1)本次抽查的學(xué)生共   人,m   

2)若該校學(xué)生有900人,估計(jì)其中喜歡“集會(huì)演講”宣傳方式的學(xué)生約有多少人?

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1)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天?

2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元.為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊(duì)合做來(lái)完成.則該工程施工費(fèi)用是多少?

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1)這次的調(diào)查對(duì)象中,學(xué)生和家長(zhǎng)共有   人;

2)圖②中表示家長(zhǎng)贊成的圓心角的度數(shù)為   度;

3)已知某地區(qū)共6500名家長(zhǎng),估計(jì)其中反對(duì)中學(xué)生帶手機(jī)的大約有多少名家長(zhǎng)?

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