Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，過C作半圓的切線，連接AC，作直線AD，使∠DAC=∠CAB，AD交半圓于E，交過C點(diǎn)的切線于點(diǎn)D．
（1）判斷AD與CD有何位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=10，AD=8，求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，可證明OC∥AD，可得出AD⊥CD；
（2）連接BC，可證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AC．

解答：解：（1）AD⊥CD，理由如下：
如圖1，連接OC，

∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠D=∠OCB=90°，
∴AD⊥CD；
（2）如圖2，連接BC，

∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠D，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

8

AC

=

AC

10

，
∴AC=4

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過切點(diǎn)的半徑和切線垂直是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．