【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線,點P為矩形外一點且滿足AP=PC,AP⊥PC,PC交AD于點N,連接DP,過點P作PM⊥PD交AD于M.
(1)若AP=5,AB=BC,求矩形ABCD的面積;
(2)若CD=PM,試判斷線段AC、AP、PN之間的關(guān)系,并證明.
【答案】(1)15;(2)AC=AP+PN,證明詳見解析.
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AP=5,由勾股定理可求AB=,BC=3,即可求矩形ABCD的面積;
(2)由矩形的性質(zhì)可得∠ADC=∠APC=90°,可證點A,點C,點D,點P四點共圓,可得∠PDA=∠PCA=45°,∠PCD=∠PAD,∠DPC=∠DCA,由“ASA”可證△ADE≌△ADC,△PAN≌△PEC,可得AC=AE,PN=PE,即可得結(jié)論.
解:(1)∵AP=PC,AP⊥PC,
∴AC=AP=5
∵AB2+BC2=AC2,AB=BC,
∴AB=,BC=3
∴S四邊形ABCD=AB×BC=15
(2)AC=AP+PN
如圖.延長AP,CD交于點E
∵AP=PC,AP⊥PC,
∴∠APC=90°,∠PAC=∠PCA=45°
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠APC
∴點A,點C,點D,點P四點共圓
∴∠PDA=∠PCA=45°,∠PCD=∠PAD,∠DPC=∠DCA,
∵PM⊥PD
∴∠PMD=∠PDM=45°
∴PM=PD,且PM=CD
∴PD=CD,
∴∠DPC=∠DCP
∴∠PAD=∠DAC,且AD=AD,∠ADE=∠ADC=90°
∴△ADE≌△ADC(ASA)
∴AC=AE,
∵AP=PC,∠APC=∠EPC=90°,∠PCE=∠PAD
∴△PAN≌△PEC(ASA)
∴PN=PE
∴AC=AE=AP+PE=AP+PN
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=xm.
(1)若花園的面積為192m2, 求x的值;
(2)若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細),求花園面積S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校初三進行了第三次模擬考試,該校領(lǐng)導(dǎo)為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)考試情況,抽樣調(diào)查了部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并將抽樣的數(shù)據(jù)進行了如下整理.
(1)填空_______,_______,數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)所在的等級_________.
(2)如果該校有1200名學(xué)生參加了本次模擬測,估計等級的人數(shù);
(3)已知抽樣調(diào)查學(xué)生的數(shù)學(xué)成績平均分為102分,求A級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均分數(shù).
①如下分數(shù)段整理樣本
等級等級 | 分數(shù)段 | 各組總分 | 人數(shù) |
4 | |||
843 | |||
574 | |||
171 | 2 |
②根據(jù)上表繪制扇形統(tǒng)計圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD為菱形,△ABD的外接圓⊙O與CD相切于點D,交AC于點E.
(1)判斷⊙O與BC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若CE=2,求⊙O的半徑r.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(3,1),B(1,0),PQ是直線y=x上的一條動線段且PQ=(Q在P的下方),當AP+PQ+QB取最小值時,點Q坐標為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,P是BC邊上一動點(不含B、C兩點),將△ABP沿直線AP翻折,點B落在點E處;在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點C落在直線PE上的點F處,直線PE交CD于點N,連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確的有 (寫出所有正確結(jié)論的序號)
①△CMP∽△BPA;
②四邊形AMCB的面積最大值為10;
③當P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線;
④線段AM的最小值為;
⑤當△ABP≌△ADN時,BP=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以 為原點的直角坐標系中, 點的坐標為(0, 1),直線 交軸于點. 為線段上一動點,作直線,交直線于點. 過點作直線平行于軸,交軸于點 ,交直線于點.
(1)當點在第一象限時,求證:;
(2)當點在第一象限時,設(shè)長為,四邊形的面積為,請求出與間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)當點在線段上移動時,點也隨之在直線上移動,是否可能成為等腰三角形?如果可能,求出所有能使成為等腰直角三角形的點的坐標;如果不可能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍.
(2)是否存在實數(shù)k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在求出k的值;若不存在,請說明理由.
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