Question

【題目】如圖，以 為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0， 1），直線 交軸于點(diǎn)． 為線段上一動(dòng)點(diǎn)，作直線，交直線于點(diǎn)． 過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，交軸于點(diǎn) ，交直線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)長(zhǎng)為，四邊形的面積為，請(qǐng)求出與間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之在直線上移動(dòng)，是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使成為等腰直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）S=m2﹣m+1（0＜m＜）；（3）使△PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（，1﹣）.

【解析】

（1）由題意可得△OAB為等腰直角三角形，因?yàn)?/span>MN∥OB，易得△AMP也是等腰直角三角形，進(jìn)而可得OM=PN，再根據(jù)∠OPC=90°，同角的余角相等可得∠MOP=∠NPC，則通過(guò)“角邊角”即可得證；

（2）設(shè)長(zhǎng)為，根據(jù)題意可用m表示出AM、MP、OM等的長(zhǎng)，再根據(jù)S=S矩OBNM﹣2S△POM即可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)C再第一象限，得出CN的取值范圍，進(jìn)而得到m的取值范圍；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)C在第一象限時(shí)，要使△PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，此時(shí)P與A重合，則可得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)C在第四象限時(shí)，PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，用m表示出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BC的長(zhǎng)，由（1）可得MP=NC，則可列出關(guān)于m的方程，求得m的值，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo).

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，

∴四邊形OBNM為矩形，

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴∠APM=∠ABO=45°，

∴∠MAP=∠MPA=45°，

∴AM=PM，

∴OM=AO﹣AM，PN=OB﹣PM，即OM=PN，

又∵∠OPC=90°，

∴∠MPO+∠NPC=90°，

∵∠MPO+∠MOP=90°，

∴∠MOP=∠NPC，

∴（ASA）；

（2）設(shè)長(zhǎng)為，四邊形的面積為，

∵AM=PM=APsin45°=m，

∴OM=1﹣m，

∴S=S矩OBNM﹣2S△POM=（1﹣m）﹣2×（1﹣m）·m

=m2﹣m+1（0＜m＜）；

（3）△PBC可能為等腰三角形.

①當(dāng)P與A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)P（0，1）；

②當(dāng)C在第四象限，且PB=CB時(shí)，有BN=PN=1﹣m，

∴BC=PN=PN=﹣m，

∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m，

由（1）可得：NC=PM=m，

∴1﹣m+﹣m=m，

解得m=1，

∴PM=，BN=1﹣，

∴P（，1﹣）；

由題意可知PC=PB不成立，

則使△PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（，1﹣）.