Question

如圖，已知一底面半徑為r，母線長為4r的圓錐，在地面圓周上有一螞蟻位于A點，它從A點出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑的長．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題,圓錐的計算

專題：

分析：根據(jù)兩點之間線段最短可求，利用底面周長=展開圖的弧長可求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理求出弦的長度．

解答：解：把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形，
則螞蟻運動的最短路程為AA′（線段）．
由此知：OA=OA′=4r，

ADA′

的長即為圓錐的底面周長為2πr．
∴2πr=

nπ×4r

180

，
解得：n=90°，
即∠AOA′=90°，∠OAC=45°．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴AA′=

(4r)2+(4r)2

=4

2

r．
即螞蟻運動的最短路程是4

2

r．

點評：此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，此題的關鍵是找到這一條最短的路徑，并熟悉圓錐的展開圖，根據(jù)已知的條件求弦長．