Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A從點(diǎn)（1，0）出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，以O(shè)A為一邊作菱形OABC，使B、C在第一象限，且∠AOC=60°，連接AC、OB；同時(shí)點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒

3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿對(duì)角線OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，若以點(diǎn)M為圓心，MA的長(zhǎng)為半徑畫圓，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，判斷點(diǎn)O與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）當(dāng)⊙M與OC邊相切時(shí)，求t的值．
（3）隨著t的變化，⊙M和菱形OABC四邊的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)也在變化，請(qǐng)直接寫出公共點(diǎn)個(gè)數(shù)與t的大小之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形后，由M點(diǎn)和A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，即可推出OM和OA的長(zhǎng)度，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)推出HC=HA=1，HO=HB=

3

，AC⊥OB，根據(jù)OH=OM，即可推出M點(diǎn)與H點(diǎn)重合，通過比較MH和OM的長(zhǎng)度，即可推出結(jié)果，（2）根據(jù)題意畫出圖形后，連接MC，MA，由菱形的性質(zhì)，首先求證△COM≌△AOM，推出MA=MC，即⊙M過C點(diǎn)，若⊙M與OC相切，設(shè)切點(diǎn)為H點(diǎn)，連接MH，根據(jù)切線的性質(zhì)推出OH⊥MH后，由OC與⊙M的公共點(diǎn)只有一個(gè)，即可推出H點(diǎn)與C點(diǎn)重合，然后，根據(jù)OM=

3

t，OA=1+t，推出OC=

3

2

t，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)列出方程，即可求出t，（3）①當(dāng)t=

1

2

時(shí)，OM=MA=MC，所以，⊙M與菱形由三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)t=2時(shí)，根據(jù)（2）所推出的結(jié)論，可求出MB的長(zhǎng)度，繼而推出⊙MM與菱形由3個(gè)交點(diǎn)；②根據(jù)①的結(jié)論，當(dāng)0≤t＜

1

2

時(shí)，圓與OC，OA邊由交點(diǎn)，當(dāng)t＞2時(shí)，圓與BC、BA邊有交點(diǎn)；③當(dāng)

1

2

＜t＜2時(shí)，圓除過A點(diǎn)和C點(diǎn)外，與菱形的各邊均又有一個(gè)交點(diǎn)，共6個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖①，
∵t=1，M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

3

個(gè)單位，A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，
∴OM=

3

，OA=1+1=2，若⊙M與OC相切，設(shè)切點(diǎn)為H點(diǎn)，
∴OH⊥MH，
∵菱形ABCO，∠AOC=60°，
∴OA=OC=AB=BC=2，∠COH=∠AOH=∠ABO=∠CBO=30°，
∴HC=HA=1，HO=HB=

3

，AC⊥OB，
∴OH=

3

，即M與H重合，
∴HA=MH=1，
∵1＜

3

，
∴MH＜OM，
∴點(diǎn)O在⊙M外，


（2）如圖②，連接MC，MA，
∵菱形AOCB，
∴在△COM和△AOM中，

OC=OA ∠COM=∠AOM OM=OM

∴△COM≌△AOM（SAS），
∴MA=MC，
即⊙M過C點(diǎn)，
若⊙M與OC相切，設(shè)切點(diǎn)為H點(diǎn)，連接MH，
∴OH⊥MH，
∵OC與⊙M的公共點(diǎn)只有一個(gè)，
∴H點(diǎn)與C點(diǎn)重合，MC⊥OC，
∵M(jìn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

3

個(gè)單位，A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，
∴OM=

3

t，OA=1+t，
∵∠COM=30°，
∴CO=

3

2

OM=

3

2

t，
∵OA=OC，
∴

3

2

t=1+t，
∴t=2．


（3）①當(dāng)t=

1

2

時(shí)，
∴OM=

3

2

，OA=

3

2

，
∵∠BOA=30°，AC垂直平分OB，
∴AH=

3

4

，OH=

3 3

4

，∠OAB=120°，
∴AM=

3

2

，
∴AM=OM，
∴∠OAM=30°，
∴∠MAB=90°，
同理∠MCB=90°，
∵△COM≌△AOM，
∴AM=CM，
∴⊙M與OC、OA相切，
∴⊙M經(jīng)過菱形OABC的頂點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)，
當(dāng)t=2時(shí)，
∵OM=2

3

，OA=3，
∴OH=

3 3

2

，AH=

3

2

，
∴OB=3

3

，
∴MB=

3

，
∴HM=

3

2

，
∴AM=

3

，
∴∠OAM=90°，
同理∠OCM=90°，
∵M(jìn)B=MA=MA，
∴⊙M與BC、BA相切于點(diǎn)C、點(diǎn)A，
∴⊙M經(jīng)過點(diǎn)B、C、A三點(diǎn)；
∴當(dāng)t=2或者t=

1

2

時(shí)，⊙M與菱形由三個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)t=0時(shí)，
∴M點(diǎn)和O點(diǎn)重合，MA=OB，
∵M(jìn)A=MA，
∴⊙M經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，
當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，
∵OM＜AM，
∴⊙M經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)O在⊙M內(nèi)，
當(dāng)t＞2時(shí)，
則OM＞2AM，
∴BM＜AM，
∴⊙M經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙M內(nèi)，
∴當(dāng)0≤t＜

1

2

時(shí)，⊙M與菱形的交點(diǎn)又2個(gè)；
③當(dāng)

1

2

＜t，
則OM＞AM，
當(dāng)t＜2時(shí)，
則OM＜2AM，BM＞AM，
∵AB=OA，M在OB上運(yùn)用，
∴OA＞AM，AB＞AM，且OC＞AM，BC＞AM，
∴⊙M經(jīng)過A，C點(diǎn)且與OC，OA，OB，BD都有交點(diǎn)，
∴當(dāng)

1

2

＜t＜2時(shí)，⊙M與菱形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的畫出圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析．