Question

【題目】圖中，AB為⊙O的直徑，AB=4，P為AB上一點，過點P作⊙O的弦CD，設∠BCD=m∠ACD．

（1）已知 ，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度數(shù)各是多少？
（2）在（1）的條件下，且 ，求弦CD的長；
（3）當 時，是否存在正實數(shù)m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

由 ，

得 m=2，
經(jīng)檢驗m=2是原方程的根。

連結(jié)AD、BD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°，∠ADB=90°

又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD

∴∠ACD=30°，∠BCD=60°；

（2）解：如圖1，連結(jié)AD、BD，則∠ABD=∠ACD=30°，AB=4

∴AD=2， ，

∵ ，

∴ ， ，

∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD

∴△APC∽△DPB

∴ ，

∴ACDP=APDB= ×2 = ①，

PCDP=APBP= × = ②

同理△CPB∽△APD

∴ ，

∴BCDP=BPAD= ×2= ③，

由①得 ，由③得 ，

，

在△ABC中，AB=4，

∴ ，

∴

由② ，

得

∴

方法二：由①÷③得 ，

在△ABC中，AB=4，AC= × = ，

BC= ×2=

由③ ，

得

由② ，

得

∴ ；

（3）解：如圖2，連結(jié)OD，

由 ，AB=4，

則 ，

則 ，

則 ，

要使CD最短，則CD⊥AB于點P

于是 ，

∵∠POD=30°

∴∠ACD=15°，∠BCD=75°

∴m=5，故存在這樣的m值，且m=5．

【解析】（1）先求出此分式方程的解，即可求出∠BCD=2∠ACD，連結(jié)AD、BD、OD，根據(jù)兩圓周角所夾弧對的兩圓心角之和為180°，即可求出∠BCD、∠ACD的度數(shù)，或根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，即可求得結(jié)果。
（2）由（1）可知∠ABD=30°，根據(jù)已知易求得AD、AP、BP、BD的長度，再證明△APC∽△DPB、△CPB∽△APD得出它們的對應邊成比例，再在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，求出DP的長，將DP的長代入② ，就可以求出PC的長，繼而求出CD。方法二、由①÷③得 A C ： B C的值，根據(jù)AB=4求出BC的長，再由③和 ②，即可求出結(jié)果。
（3）要使弦CD最短，根據(jù)軸對稱的相關(guān)知識，先找到點P的位置，即CD⊥AB于點P，連接OD，根據(jù)已知條件求出AP、OP的長，在Rt△POD中，運用銳角三角函數(shù)求出∠POD的度數(shù)，從而求出∠ACD，∠BCD的度數(shù)，即可求出m的值。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．