Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG=30°，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）
（1）DC=3OG； （2）OG= BC； （ 3）OGE是等邊三角形； （ 4）SAOE= S矩形ABCD

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵EF⊥AC，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)， ∴OG=AG=GE= AE， ∵∠AOG=30°， ∴∠OAG=∠AOG=30°， ∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°， ∴△OGE是等邊三角形，故（3）正確； 設(shè)AE=2a，則OE=OG=a， 由勾股定理得，AO= = = a， ∵O為AC中點(diǎn)， ∴AC=2AO=2 a， ∴BC= AC= ×2 a= a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB= =3a， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴CD=AB=3a， ∴DC=3OG，故（1）正確； ∵OG=a， BC= a， ∴OG≠ BC，故（2）錯誤； ∵S△AOE= · a·2a= S矩形ABCD=3a =3 a2∴S△AOE= S矩形ABCD ， 故（4）正確； 綜上所述，結(jié)論正確是（1）（3）（4）共3個． 故選：C．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等邊三角形的判定和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．