【題目】為迎接北京2022年冬奧會,某工藝廠準備生產奧運會標志與奧運會吉祥物,該廠主要用甲、乙兩種原料.已知生產一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒,生產一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒.該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒,如果所進原料全部用完.

1)求該廠能生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套?

2)如果奧運會標志的成本為16元,奧運會吉祥物的成本為15元,若東營客商購進奧運會標志和奧運會吉祥物共250件進行試銷,其中奧運會標志的件數(shù)不大于奧運會吉祥物的件數(shù),且不小于80件,已知奧運會標志的售價為24/件,奧運會吉祥物的售價為22/件,且全部售出,設購進奧運會標志m件,求該客商銷售這批商品的利潤ym之間的函數(shù)關系式,并寫出m的取值范圍;

3)在(2)的條件下,東營客商決定在試銷活動中毎售出一件奧運會標志,就從一件奧運會標志的利潤中捐獻慈善資金a元,求該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的最大收益.

【答案】1)該廠能生產奧運會標志2000套,能生產奧運會吉祥物2400套;(280m125;(3)當m80時,w取最大值,最大收益為[801a+1750]元.

【解析】

1)設該廠能生產奧運會標志x套,能生產奧運會吉祥物z套,根據該廠購進甲、乙原料的數(shù)量,即可得出關于x、z的二元一次方程,解之即可得出結論;

2)設購進奧運會標志m件,則購進奧運會吉祥物(250m)件,根據總利潤=單價利潤×購進數(shù)量,即可得出y關于m的函數(shù)關系式,再由奧運會標志的件數(shù)不大于奧運會吉祥物的件數(shù)且不小于80件,即可得出m的取值范圍;

3)設該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的收益為w元,根據收益=利潤﹣捐獻總資金,即可得出w關于m的函數(shù)關系式,再利用一次函數(shù)的性質即可解決最值問題.

1)設該廠能生產奧運會標志x套,能生產奧運會吉祥物z套,

根據題意得:,

解得:

答:該廠能生產奧運會標志2000套,能生產奧運會吉祥物2400套.

2)設購進奧運會標志m件,則購進奧運會吉祥物(250m)件,

根據題意得:y=(2416m+2215)(250m)=m+1750

∵奧運會標志的件數(shù)不大于奧運會吉祥物的件數(shù),且不小于80件,

,

80m125

3)設該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的收益為w元,

根據題意得:wyam=(1am+175080m125),

∴①當a1時,1a0

wm值的增大而增大,

∴當m125時,w取最大值,最大收益為[1251a+1750]元;

②當a1時,1a0,

w1750,即在80m125中,該客商均為1750元;

③當a1時,1a0,

wx值的增大而減小,

∴當m80時,w取最大值,最大收益為[801a+1750]元.

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