【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC=6,BC=4,點D、E分別在邊AB、AC上,且AD=AE=1,連接DE、CD,點M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點,連接MP、PN、MN.
(1)求證:△PMN是等腰三角形;
(2)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),
①如圖2,當(dāng)點D、E分別在邊AC兩側(cè)時,求證:△PMN是等腰三角形;
②當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到第一次點D、E、C在一條直線上時,請直接寫出此時BD的長.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②.
【解析】
(1)利用三角形的中位線得出PM=CE,PN=BD,進而判斷出BD=CE,即可得出結(jié)論PM=PN;
(2)①先證明△ABD≌△ACE,得BD=CE,同理根據(jù)三角形中位線定理可得結(jié)論;
②如圖4,連接AM,計算AN和DE、EM的長,如圖3,證明△ABD≌△CAE,得BD=CE,根據(jù)勾股定理計算CM的長,可得結(jié)論
(1)如圖1,∵點N,P是BC,CD的中點,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵點P,M是CD,DE的中點,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(2)①如圖2,∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,
∵點M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點,
∴PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
②當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到第一次點D、E、C在一條直線上時,如圖3,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△CAE,
∴BD=CE,
如圖4,連接AM,
∵M是DE的中點,N是BC的中點,AB=AC,
∴A、M、N共線,且AN⊥BC,
由勾股定理得:AN==4,
∵AD=AE=1,AB=AC=6,
∴=,∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△AEC,
∴,
∴,
∴AM=,DE=,
∴EM=,
如圖3,Rt△ACM中,CM===,
∴BD=CE=CM+EM=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A,B為定點,定直線l//AB,P是l上一動點.點M,N分別為PA,PB的中點,對于下列各值:
①線段MN的長;
②△PAB的周長;
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大。
其中會隨點P的移動而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作⊙O的切線交AB于點E,交AC的延長線于點F.
(1)求證:DE⊥AB;
(2)若tan∠BDE=, CF=3,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題提出)
求證:如果一個定圓的內(nèi)接四邊形對角線互相垂直,那么這個四邊形每組對邊的平方和是一個定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.請你在圖①中補全特殊位置時的圖形,并借助于所畫圖形探究問題的結(jié)論.
(問題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=kx﹣10經(jīng)過點A(12,0)和B(a,﹣5),雙曲線y=經(jīng)過點B.
(1)求直線y=kx﹣10和雙曲線y=的函數(shù)表達式;
(2)點C從點A出發(fā),沿過點A與y軸平行的直線向下運動,速度為每秒1個單位長度,點C的運動時間為t(0<t<12),連接BC,作BD⊥BC交x軸于點D,連接CD,
①當(dāng)點C在雙曲線上時,求t的值;
②在0<t<6范圍內(nèi),∠BCD的大小如果發(fā)生變化,求tan∠BCD的變化范圍;如果不發(fā)生變化,求tan∠BCD的值.
③當(dāng)DC=時,請直接寫出t的值.
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【題目】如圖,在ABCD中,點E是BC邊的中點,連接AE并延長與DC的延長線交于F.
(1)求證:CF=CD;
(2)若AF平分∠BAD,連接DE,試判斷DE與AF的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,中,與的平分線交于點,過點作交于點,交于點,那么下列結(jié)論:
①是等腰三角形;②;
③若,;④.
其中正確的有( )
A.個B.個C.個D.個
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【題目】如圖,直線,直線分別與,相交于點、,小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點為圓心,以任意長為半徑作弧交于點,交于點②分別以,為圓心,以大于,長為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于點;③作射線交于點,若,則____________.
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【題目】【問題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點,E是CD邊的中點,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請分別作出判斷,不需要證明.
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