【題目】已知△ABC是等邊三角形,以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D,DE⊥AC,垂足為點E.

(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)若AE=1,求⊙O的直徑.

【答案】(1)見解析;

(2)OB =2

【解析】

試題分析:(1)連接OD,由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC,∠B=∠C=60°,證出△OBD是等邊三角形,得出∠BOD=∠C,證出OD∥AC,得出DE⊥OD,即可得出結(jié)論;

(2)連接CD,根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的性質(zhì)得出BD=AD=OB,然后解直角三角形即可求得.

試題解析:(1)DE是⊙O的切線;理由如下:

連接OD,如圖1所示:

∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60°,

∵OB=OD,

∴△OBD是等邊三角形,

∴∠BOD=60°,

∴∠BOD=∠C,

∴OD∥AC,

∵DE⊥AC,

∴DE⊥OD,

∴DE是⊙O的切線;

(2)連接CD,

∵BC為直徑,

∴CD⊥AB,

∴BD=AD=OB,

在直角△ADE中,

∠A=60°,

∴AD=2AE=2,

∴OB=AD=2.

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