Question

9．如圖，在平面直角坐標系中A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），點P為△OAB內(nèi)任一點，連PO、PA、PB，將△ABP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′P′，連PP′．
（1）求點B′的坐標；
（2）當△OPA與△APB滿足什么條件時，PO+PA+PB的值最小，并求出此最小值；
（3）試直接寫出（2）中的點P坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、B的坐標求得AB的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為60°，求得點B′的坐標；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短，求得PO+PA+PB的最小值；
（3）先將（2）中的△OPB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，求得點B″的坐標，再根據(jù)點P為OB′與AB″的交點，聯(lián)立方程組求得交點P的坐標即可．

解答 解：（1）∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）
∴AB=2，∠BAO=30°
∵將△ABP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′P′
∴AB′=2，∠B′AO=90°
∴B′（$\sqrt{3}$，2）

（2）由旋轉(zhuǎn)可得，△APP′是等邊三角形
∴PP′=PA
又∵P′B′=PB
∴PO+PA+PB=PO+PP′+P′B′
∴如圖，當O、P、P′、B′四點共線時，PO+PA+PB的值最小
∴當∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°時，PO+PA+PB的值最小
此時，PO+PA+PB=OB′=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$

（3）如圖，將（2）中的△OPB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OB″P″，則∠BOB″=60°，OB″=OB=1
∴點B的坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
由（2）可知A、P、P″、B″四點共線
∴點P為OB′與AB″的交點
根據(jù)A、B″兩點的坐標可得直線AB″的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{1}{3}$
根據(jù)B′的坐標可得直線OB′的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x
聯(lián)立方程組，解得P（$\frac{\sqrt{3}}{7}$，$\frac{2}{7}$）

點評 本題主要考查了幾何變換中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．在求最小值時，往往需要考慮兩點之間線段最短或者垂線段最短等基本結(jié)論，在求兩直線交點坐標時，需要聯(lián)立方程組進行求解．