Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-8mx+16m-1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)分別為A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求證：拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若AB=2，求此拋物線的解析式．
（3）已知x軸上兩點(diǎn)C（2，0），D（5，0），若拋物線y=mx²-8mx+16m-1（m＞0）與線段CD有交點(diǎn)，請(qǐng)寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明△＞0即可；
（2）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，則x₁、x₂為方程mx²-8mx+16m-1=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=8，x₁•x₂=$\frac{16m-1}{m}$，再變形|x₁-x₂|=2得到（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，所以8²-4•$\frac{16m-1}{m}$=4，然后解出m即可得到拋物線解析式；
（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4，利用函數(shù)圖象，由于拋物線開口向上，則只要當(dāng)x=2，y≥0時(shí)，拋物線與線段CD有交點(diǎn)，于是得到4m-16m+16m-1≥0，然后解不等式即可．

解答 （1）證明：△=64m²-4m•（16m-1）
=4m，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）根據(jù)題意，x₁、x₂為方程mx²-8mx+16m-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-8m}{m}$=8，x₁•x₂=$\frac{16m-1}{m}$，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
∴8²-4•$\frac{16m-1}{m}$=4，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-8x+15；
（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{-8m}{2m}$=4，
∵拋物線開口向上，
∴當(dāng)x=2，y≥0時(shí)，拋物線與線段CD有交點(diǎn)，
∴4m-16m+16m-1≥0，
∴m≥$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．