Question

1．如圖，二次函數(shù)$y=\frac{1}{2}{（x-3）^2}-1$的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）連接CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與該圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD，求∠DAE的大小；
（3）設(shè)點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作兩個(gè)圓，該二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得過(guò)P向兩個(gè)圓各作一條切線PM，PN（M，N為切點(diǎn)），且PM，PN剛好可以作為一個(gè)斜邊為4的直角三角形的兩條直角邊？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)式可以知道點(diǎn)D坐標(biāo)．
（2）先求出直線CD解析式，根據(jù)OE⊥CD求出直線OE解析式，再求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出線段AE²，AD²，DE²，由勾股定理的逆定理證明△EAD是直角三角形即可解決問(wèn)題．
（3）存在．設(shè)點(diǎn)P為（m，n），求出PM²，PN²，根據(jù)PM²+PN²=4²，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解得x=3$±\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（3-$\sqrt{2}$，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（3+$\sqrt{2}$，0），
令x=0則y=$\frac{7}{2}$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，$\frac{7}{2}$），頂點(diǎn)D坐標(biāo)（3，-1）．
（2）設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
∵OE⊥CD，
∴直線OE解析式為y=$\frac{2}{3}$x，
∴x=3時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（3，2），
∴AE²=（$\sqrt{2}$）²+2²=6，AD²=（$\sqrt{2}$）²+1²=3，DE²=3²=9，
∴AE²+AD²=DE²，
∴∠EAD=90°．
（3）存在．
理由：由題意E（3，2），F(xiàn)（3，-4），設(shè)點(diǎn)P為（m，n），
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴n=$\frac{1}{2}$（m-3）²-1      ①
∴PM²=PE²-1²=（m-3）²+（n-2）²-1，PN²=PF²-1²=（m-3）²+（n+4）²-1，
∵PM²+PN²=4²，
∴（m-3）²+（n-2）²-1+（m-3）²+（n+4）²-1=4²，
整理得到（m-3）²+（n+1）²=0      ②
由①②得到m=3，n=-1，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)．兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，學(xué)會(huì)理由參數(shù)解決問(wèn)題，本題有一定的代數(shù)技巧，巧用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)這個(gè)突破口，屬于中考?jí)狠S題．