Question

【題目】如圖，已知頂點為的拋物線過點，交軸于兩點，交軸于點，點是拋物線上一動點．

求拋物線的解析式；

當點在直線上方時，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；

過點作直線的垂線，垂足為，若將沿翻折點的對應點為點．是否存在點，使恰好落在軸上？若存在，求出點的坐標：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值，此時點的坐標為；（3）存在，

【解析】

（1）先設設拋物線解析式為，然后用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由S△PAD=S△PHA+S△PHD，然后將S△PAD表示出來，最后求最值即可；

（3）設點P的坐標為點的坐標為，然后分當P點在y軸右側(cè)或左側(cè)兩種情況，分別運用解直角三角形以及相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解：根據(jù)題意設拋物線解析式為

把點的坐標代入得

解得

所以拋物線解析式為；

如圖，由已知拋物線過點交軸于兩點，交軸于點

所以可得的坐標為，

且軸設經(jīng)過兩點的直線的解析式為

把的坐標代入得

解得

所以直線的解析式為

過點作軸的垂線，分別交軸于點，連結(jié)

因為點在拋物線上，故設點的坐標為

則點的坐標為

所以

所以

當時，有最大值，此時點的坐標為；

存在滿足條件的點，顯然點在直線下方．

設直線交軸于，點的坐標為

① 當點在軸右側(cè)（如圖 ），

又，

即

解得

此時，點的坐標為

② 當點在軸左側(cè)時（如圖 2）此時，

又，

即

解得

此時，點的坐標為

綜上所述，滿足條件的點坐標為

．