Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°．點(diǎn)P與點(diǎn)Q是平行四邊形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A→點(diǎn)B→點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△CPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出S的最大值；
（3）t為何值時(shí)，以△CPQ的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形是菱形？

Answer 1

解：（1）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=4，
∴CP=t，S=
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=t，由勾股定理得：PF=t，
S=CQ×PF=×（12-2t）×t，
即S=-t²+3t．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，
∵∠PCF=∠D=60°，
∴PF=t，
∴S_△CPQ=-t²+3t=-（t-3）²+，
t=3時(shí)，S有最大值．
綜上，S的最大值為；

（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴當(dāng)t=4時(shí)，△CPQ為等腰三角形，
即為△CPQ的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形．
分析：（1）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)三角形面積公式求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，由三角形面積公式求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，
（2）根據(jù)S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式求出最大值，
（3）要使△CPQ為等腰三角形，則要CQ=CP，看看t是否存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．