Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（

2

，

2

），以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M． 使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與x軸、y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A（如圖），連接AM．點(diǎn)P是

AB

上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）∠AOB的度數(shù)為

 

．
（2）Q是射線OP上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點(diǎn)E．
①當(dāng)QE與⊙M相切時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②在①的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，求△ODQ面積的最大值及點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA，交y軸于點(diǎn)N，則可知MN=ON=

2

，可知∠AOB的度數(shù)；
（2）①由切線的性質(zhì)可知OB⊥BE，且∠BOE=45°，OB=2

2

，在Rt△OBE中由勾股定理可求得OE，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
②在①的條件下，設(shè)QC與y軸交于點(diǎn)R，則當(dāng)P由B運(yùn)動(dòng)到A的過(guò)程中，則Q從B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)R，容易求得BR即Q點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，當(dāng)Q到達(dá)R點(diǎn)時(shí)△ODQ的面積最大，可求得其最大值．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA，交y軸于點(diǎn)N，

∵點(diǎn)M（

2

，

2

），
∴MN=ON=

2

，
∴∠AOB=45°，
故答案為：45°；
（2）①當(dāng)QE與⊙M相切時(shí)，由QC⊥OB，可知點(diǎn)B為切點(diǎn)，如圖2，

∵OM=2，
∴OB=4，且∠BOE=45°，
在Rt△BOE中，OB=BE=4，由勾股定理可求得OE=4

2

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4

2

，0）；
②設(shè)切線QC交y軸于點(diǎn)R，如圖3，

由①可知△OBR為等腰直角三角形，且OB=4，
∴BR=4，
當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則Q點(diǎn)從B運(yùn)動(dòng)到R，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為線段BR，
∴點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為4，
∵△ODQ的邊OD不變，
∴當(dāng)Q點(diǎn)到OD的距離最大時(shí)，△ODQ的面積最大，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在R點(diǎn)時(shí)，△ODQ面積最大，
此時(shí)，在Rt△OBR中，可求得OR=4

2

，
連接BD，則△OBD為等腰直角三角形，且OB=4，可求得OD=2

2

，
∴△ODQ面積最大值=

1

2

OD•OR=

1

2

×2

2

×4

2

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定等知識(shí)的綜合應(yīng)用，在（1）中注意M點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，在第（2）①中利用切線的性質(zhì)及勾股定理求得OE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中確定出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵，并注意判斷點(diǎn)Q點(diǎn)在何位置時(shí)△ODQ的面積最大．