Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)O（0，0）．點(diǎn)M為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O、A重合），沿著BM折疊該紙片，得頂點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′．

（I）如圖①，當(dāng)點(diǎn)O′在邊AB上時(shí)，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；

（II）設(shè)直線BO′與x軸相交于點(diǎn)F．

①如圖②，當(dāng)BA平分∠MBF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②當(dāng)OM=時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）O'（，2﹣）；（Ⅱ）①F（2，0）；②F（，0）

【解析】

(I) 過點(diǎn)O'作O'H⊥y軸于H，由折疊可知，BO'=BO=2，∠BO'H=∠BAO=45°，利用特殊角的三角函數(shù)值求出BH、O'H，從而得到O'的坐標(biāo)；

(II) ①由BA平分∠MBF時(shí)，得到∠OBF=60，利用特殊角的三角函數(shù)值求出OF，即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；②先說明△FO'M∽△FOB，從而=，設(shè)F(a,0)，利用勾股定理，用含a式子表示O'F，代入=，求出a，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：(I)如圖①，過點(diǎn)O'作O'H⊥y軸于H，

由折疊知，△BMO≌△BMO'，

∴BO'=BO=2，

∵O'H∥OA，

∴∠BO'H=∠BAO=45°，

在Rt△BO'H中，O'H=BO'cos∠BO'H=，

∴BH=O'H=，

∴OH=OB﹣BH=2﹣，

∴O'（，2﹣）；

(II)①∵BA平分∠MBF，

∴∠ABO=3∠MBA=45°，

∴∠ABF=∠MBA=15°，

∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°，

在Rt△BOF中，OF=OBtan60=2，

∴F（2，0）；

②由折疊知，O'M=OM=，O'B=OB=2，∠MO'F=90°=∠FOB，

∵∠FO'M=∠FOB，

∴△FO'M∽△FOB，

∴=，

設(shè)F（a，0）（a＞0），

∴OF=a，

在Rt△BOF中，BF=，

∴O'F=﹣2，

∴，

∴a=0（舍）或a=，

F（，0）.

故答案為：(I)O'（，2﹣）；(II)①F（2，0）；②F（，0）