【題目】如圖,已知圓O是正六邊形ABCDEF外接圓,直徑BE=8,點GH分別在射線CD、EF上(點G不與點C、D重合),且∠GBH=60°,設(shè)CG=x,EH=y

1)如圖①,當直線BG經(jīng)過弧CD的中點Q時,求∠CBG的度數(shù);

2)如圖②,當點G在邊CD上時,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;

3)聯(lián)結(jié)AH、EG,如果△AFH與△DEG相似,求CG的長.

【答案】1)∠CBG=15°;(2);(3CG的長為12

【解析】

1)連接OQ根據(jù)正六邊形的特點和內(nèi)角和求出∠EBC =60°,然后通過弧之間的關(guān)系得出∠BOQ=EOQ=90°,又因為BO=OQ,得出∠OBQ=BQO=45°,最后利用∠CBG=EBC-OBQ即可求出答案;

2)在BE上截取EM=HE,連接HM,首先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出是等邊三角形,則有EM=HE=HM=y,∠HME=60°,從而有∠C=HMB=120°,然后通過等量代換得出∠GBC=HBE,由此可證明△BCG∽△BMH,則有,即,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式可求,因為點Q在邊CD上,則x的取值范圍可求;

3)分兩種情況:①當點G在邊CD上時:又分當時和當時兩種情況;②當點GCD的延長線上時,同樣分當時和當時兩種情況,分別建立方程求解并檢驗即可得出答案.

解:(1)如圖,連接OQ

∵六邊形ABCDEF是正六邊形,

BC=DE,∠ABC=120°

,∠EBC=ABC=60°

∵點Q的中點,

,

∴∠BOQ=EOQ,

又∵∠BOQ+EOQ=180°,

∴∠BOQ=EOQ=90°

又∵BO=OQ,

∴∠OBQ=BQO=45°,

∴∠CBG=60°45°=15°

2)如圖,在BE上截取EM=HE,連接HM

∵六邊形ABCDEF是正六邊形,直徑BE=8,

BO=OE=BC=4,∠C=FED=120°,

∴∠FEB=FED=60°

EM=HE,

是等邊三角形,

EM=HE=HM=y,∠HME=60°,

∴∠C=HMB=120°

∵∠EBC=GBH=60°

∴∠EBCGBE=GBHGBE,

即∠GBC=HBE

∴△BCG∽△BMH,

又∵CG= xBE=8,BC=4,

yx的函數(shù)關(guān)系式為).

3)如圖,當點G在邊CD上時.

由于△AFH∽△EDG,且∠CDE=AFE=120°,

時,

AF=ED,

FH=DG,

,

即:,解分式方程得

經(jīng)檢驗是原方程的解,但不符合題意舍去.

時,

即:,解分式方程得

經(jīng)檢驗是原方程的解,但不符合題意舍去.

如圖,當點GCD的延長線上時.

由于△AFH∽△EDG,且∠EDG=AFH=60°,

時,

AF=ED,

FH=DG

,

即:,解分式方程得

經(jīng)檢驗是原方程的解,但不符合題意舍去.

時,

即:,解分式方程得

經(jīng)檢驗是原方程的解,且符合題意.

∴綜上所述,如果△AFH與△DEG相似,那么CG的長為12

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