Question

12．如圖，∠A=∠CBD=30°，∠ABD=45°，則以下結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． AB=3CD
• B． BC²=CD•AB
• C． △BCD是等腰三角形
• D． 2CD=（$\sqrt{3}-1$）AD

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到∠ABC=75°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠C=180°-∠A-∠ABC=75°，于是得到△BCD是等腰三角形，故C正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，于是得到BC²=CD•AB，故B正確；過D作DE⊥AB于E，設(shè)DE=BE=x，解直角三角形得到AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，BC=BD=$\sqrt{2}$x，根據(jù)BC²=CD•AB，于是得到2CD=2（$\sqrt{3}$-1）x=（$\sqrt{3}$-1）•AD，故D正確；由于AD=2DE≠2CD，于是得到AB≠3CD，故A錯誤．

解答 解：∵∠A=∠CBD=30°，∠ABD=45°，
∴∠ABC=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=75°，
∴∠ABC=∠C，
∴△BCD是等腰三角形；故C正確；
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
∴BC²=CD•AB，故B正確；
過D作DE⊥AB于E，
設(shè)DE=BE=x，
∴AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，BC=BD=$\sqrt{2}$x，
∵BC²=CD•AB，
∴（$\sqrt{2}$x）²=CD•（$\sqrt{3}$x+x）
∴CD=（$\sqrt{3}$-1）x，
∴2CD=2（$\sqrt{3}$-1）x=（$\sqrt{3}$-1）•AD，故D正確；
∵AD=2DE≠2CD，
∴AB≠3CD，故A錯誤．
故選A．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．