Question

2．如圖，已知二次函數(shù)y=m²x²-2mx-3（m是常數(shù)，m＞0）的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l．點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD．點(diǎn)E為該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，AB平分∠DAE．
（1）①線段AB的長(zhǎng)為$\frac{4}{m}$．
②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（①、②中的結(jié)論均用含m的代數(shù)式表示）
（2）設(shè)M是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)N在l上．探索：是否存在點(diǎn)M．使得以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）①令y=0，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
②根據(jù)拋物線解析式確定出對(duì)稱軸，和y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，分兩種情況計(jì)算，利用矩形的對(duì)角線互相平分來確定出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）①令y=0，則（mx-3）（mx+1）=0，
∴x=-$\frac{1}{m}$或x=$\frac{3}{m}$，
∴A（-$\frac{1}{m}$，0），B（$\frac{3}{m}$，0），
∴AB=$\frac{4}{m}$，
故答案為$\frac{4}{m}$；
②∵二次函數(shù)y=m²x²-2mx-3，
∴C（0，-3），對(duì)稱軸l：x=$\frac{1}{m}$，
∴D（$\frac{2}{m}$，-3）
∵AB平分∠DAE，
∴點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（$\frac{2}{m}$，3）在直線AE上，
∴直線AE的解析式為y=mx+1，
∵點(diǎn)E是拋物線和直線AE的交點(diǎn)，
∴E（$\frac{4}{m}$，5）．
（2）設(shè)M（x，m²x²-2mx-3），N（$\frac{1}{m}$，a）
∵A（-$\frac{1}{m}$，0），E（$\frac{4}{m}$，5）．
以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
①以AE，MN為對(duì)角線時(shí)，
AE，MN的中點(diǎn)重合，
∴-$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{m}$=x+$\frac{1}{m}$，
∴x=$\frac{2}{m}$，
∴M（$\frac{2}{m}$，-3），
∵M(jìn)A²+ME²=AE²，
∴$\frac{9}{{m}^{2}}$+9+$\frac{4}{{m}^{2}}$+64=$\frac{25}{{m}^{2}}$+25，
∴m=-$\frac{1}{2}$（舍），或m=$\frac{1}{2}$，
∴M（4，-3），
②以AN，ME為對(duì)角線時(shí)，
AN，ME的中點(diǎn)重合，
∴-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{m}$=x+$\frac{4}{m}$，
∴x=-$\frac{4}{m}$，
∴M（-$\frac{4}{m}$，21），
∵AE²+AM²=ME²，
∴$\frac{25}{{m}^{2}}$+25+$\frac{9}{{m}^{2}}$+441=$\frac{64}{{m}^{2}}$+256，
∴m=-$\frac{1}{\sqrt{7}}$（舍）或m=$\frac{1}{\sqrt{7}}$
∴$M（-4\sqrt{7}，21）$，
③以AM，NE為對(duì)角線時(shí)，
∴AM，NE的中點(diǎn)重合，
∴x+（-$\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{m}$，
∴x=$\frac{6}{m}$，
∴M（$\frac{6}{m}$，21），
∵AE²+EM²=AM²，
∴$\frac{25}{{m}^{2}}$+25+$\frac{4}{{m}^{2}}$+256=$\frac{49}{{m}^{2}}$+441，此方程無解，
即：存在，M（4，-3）或$M（-4\sqrt{7}，21）$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用角平分線得到直線AB解析式．