Question

13．已知：△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：
（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=1+$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{2}$，則：
①線段PB=$\sqrt{6}$，PC=2；
②猜想：PA²，PB²，PQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系為PA²+PB²=PQ²；
（2）如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過程；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{PC}{AC}$的值．（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求）　

Answer 1

分析 （1）①在Rt△ABC中，可求得AB，由PB=AB-PA可求得PB，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則可求得CD=AD=DB，可求得PD的長(zhǎng)，在Rt△PCD中可求得PC的長(zhǎng)；②把AP²和PB²都用PC和CD表示出來，結(jié)合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的關(guān)系，從而可找到PA²，PB²，PQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由（1）中②的方法，可證得結(jié)論；
（3）分點(diǎn)P在線段AB上和線段BA的延長(zhǎng)線上，分別利用$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{3}$可找到PA和CD的關(guān)系，從而可找到PD和CD的關(guān)系，在Rt△CPD和Rt△ACD中，利用勾股定理可分別找到PC、AC和CD的關(guān)系，從而可求得$\frac{PC}{AC}$的值．

解答 解：
（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC=1+$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵PA=$\sqrt{2}$，
∴PB=AB-PA=$\sqrt{6}$，
如圖1，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，

∴PD=AD-PA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△PCD中，PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
故答案為：$\sqrt{6}$；2；
②PA²+PB²=PQ²，
證明如下：
如圖1，∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA²=（AD-PD）²=（CD-PD）²=CD²-2CD•PD+PD²，PB²=（BD+PD）²=（CD+PD）²=CD²-2CD•PD+PD²，
∴PA²+PB²=2CD²+2PD²=2（CD²+PD²），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC²=CD²+PD²，
∴PA²+PB²=2PC²，
∵△CPQ為等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC²=PQ²，
∴PA²+PB²=PQ²，
故答案為：PA²+PB²=PQ²；
（2）證明：
如圖2，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA²=（AD+PD）²=（CD+PD）²=CD²-2CD•PD+PD²，PB²=（DP-BD）²=（PD-CD）²=CD²-2CD•PD+PD²，
∴PA²+PB²=2CD²+2PD²=2（CD²+PD²），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC²=CD²+PD²，
∴PA²+PB²=2PC²，
∵△CPQ為等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC²=PQ²，
∴PA²+PB²=PQ²；
（3）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)P只能在線段AB上或在線段BA的延長(zhǎng)線上，
①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，

∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{3}$，
∴PA=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{2}$CD=PD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{C{D}^{2}+（\frac{1}{2}CD）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}CD}{\sqrt{2}CD}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)上時(shí)，

∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{3}$，
∴PA=$\frac{1}{2}$AB=CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{{CD}^{2}+（2CD）^{2}}$=$\sqrt{5}$CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}CD}{\sqrt{2}CD}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
綜上可知$\frac{PC}{AC}$的值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，并涉及分類討論思想．在（2）中注意分別用CD和PD表示出PA和PB是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置，再結(jié)合條件找到PC、AC與CD的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題涉及內(nèi)容不多，但綜合性很強(qiáng)，難度較大．