【題目】如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于AC點E,交PC于點F,連接AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長.
【答案】解:(1)AF與圓O的相切。理由為:
如圖,連接OC,
∵PC為圓O切線,∴CP⊥OC。
∴∠OCP=90°。
∵OF∥BC,
∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB。
∵OC=OB,∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。
∵在△AOF和△COF中,OA=OC,∠AOF=∠COF,OF=OF,
∴△AOF≌△COF(SAS)。∴∠OAF=∠OCF=90°。
∴AF為圓O的切線,即AF與⊙O的位置關(guān)系是相切。
(2)∵△AOF≌△COF,∴∠AOF=∠COF。
∵OA=OC,∴E為AC中點,即AE=CE=AC,OE⊥AC。
∵OA⊥AF,∴在Rt△AOF中,OA=4,AF=3,根據(jù)勾股定理得:OF=5。
∵S△AOF=OAAF=OFAE,∴AE=。
∴AC=2AE=。
【解析】
試題(1)連接OC,先證出∠3=∠2,由SAS證明△OAF≌△OCF,得對應角相等∠OAF=∠OCF,再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCF=90°,證出∠OAF=90°,即可得出結(jié)論;
(2)先由勾股定理求出OF,再由三角形的面積求出AE,根據(jù)垂徑定理得出AC=2AE.
試題解析:(1)連接OC,如圖所示:
∵AB是⊙O直徑,
∴∠BCA=90°,
∵OF∥BC,
∴∠AEO=90°,∠1=∠2,∠B=∠3,
∴OF⊥AC,
∵OC=OA,
∴∠B=∠1,
∴∠3=∠2,
在△OAF和△OCF中,
,
∴△OAF≌△OCF(SAS),
∴∠OAF=∠OCF,
∵PC是⊙O的切線,
∴∠OCF=90°,
∴∠OAF=90°,
∴FA⊥OA,
∴AF是⊙O的切線;
(2)∵⊙O的半徑為4,AF=3,∠OAF=90°,
∴OF==5
∵FA⊥OA,OF⊥AC,
∴AC=2AE,△OAF的面積=AFOA=OFAE,
∴3×4=5×AE,
解得:AE=,
∴AC=2AE=.
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【題目】如圖,已知S△ABC=12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于點D,則S△ADC的值是( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
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【題目】問題探究
(1)如圖1,已知銳角△ABC中,點D在BC邊上,當線段AD最短時,請你在圖中畫出點D的位置.
圖1
(2)若一個四邊形的四個頂點分別在一個三角形的三條邊上;則稱這個四邊形為該三角形的內(nèi)接四邊形.
如圖2,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∠B=90°.矩形BEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,若EF=2,則矩形BEFG的面積為_________
如圖3,在△ABC中,AB=,BC=8,∠B=45°,矩形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上.若EF=2,求矩形DEFG的面積;
圖2 圖3
問題解決:
(3)如圖4,△ABC是一塊三角形木板余料,AB=6,BC=8,∠B=30°,木匠師傅想利用它裁下一塊矩形DEFG木塊,矩形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上,請在圖4中畫出對角線DF最短的矩形DEFG,請說明理由,并求出此時DF的長度.
圖4
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【題目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,點E在BC邊上,連接DE,將△DEC沿DE翻折,得到△DEC',C'E交AD于點F,連接AC'.若點F為AD的中點,則AC′的長度為( )
A.B.2C.2D.+1
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【題目】如圖,菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,∠EGF=60°, ∠EGF的頂點G在菱形對角線AC上運動,角的兩邊分別交邊BC、CD于E、F.
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(1)如圖甲,當頂點G運動到與點A重合時,求證:EC+CF=BC;
(2)知識探究:
①如圖乙,當頂點G運動到AC的中點時,請直接寫出線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系(不需要寫出證明過程);
②如圖丙,在頂點G運動的過程中,若,探究線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系;
(3)問題解決:如圖丙,已知菱形的邊長為8,BG=7,CF=,當>2時,求EC的長度。
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【題目】為了備戰(zhàn)初三物理、化學實驗操作考試,某校對初三學生進行了模擬訓練,物理、化學各有4各不同的操作實驗題目,物理用番號①、②、③、④代表,化學用字母a、b、c、d表示,測試時每名學生每科只操作一個實驗,實驗的題目由學生抽簽確定,第一次抽簽確定物理實驗題目,第二次抽簽確定化學實驗題目.
(1)請用樹形圖法或列表法,表示某個同學抽簽的各種可能情況.
(2)小張同學對物理的①、②和化學的b、c號實驗準備得較好,他同時抽到兩科都準備的較好的實驗題目的概率是多少?
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= .對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F(xiàn).
(1)證明:當旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).
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【題目】如圖,在中,、分別是和的平分線,于,交于,于,交于,,,,,結(jié)論①;②;③;④.其中正確的有( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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