Question

【題目】已知三角形的一銳角α（45°＜α＜90°）的正弦和余弦分別是方程（m+5）x2﹣（2m﹣5）x+12＝0的兩根，求：

（1）m的值；

（2）α的正弦值和余弦值．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）sinα＝，cosα＝

【解析】

（1）設(shè)一個直角三角形的兩個銳角為∠A、∠B，且∠A+∠B＝90°，利用正弦三角公式及完全平方公式得﹣2sinAsinB＝1，列一元二次方程求解即可；

(2) 當(dāng)m=20時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為（5x﹣3）（5x﹣4）＝0，求解即可得到正弦值和余弦值，且注意α為銳角．

解：（1）設(shè)一個直角三角形的兩個銳角為∠A、∠B（∠A+∠B＝90°），

∴sinB＝cosA，

根據(jù)題意，得：sinA+sinB＝，sinAsinB＝，

∵，

∴﹣2sinAsinB＝1，

∴﹣2×＝1，

解得＝20，＝﹣2，

檢驗(yàn)：把＝20代入檢驗(yàn)是原方程的根，把＝﹣2代入檢驗(yàn)是原方程的根，

∵sinA+sinB＝＞0，sinAsinB＝＜1，

∴m＝20；

（2）當(dāng)m＝20時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為（5x﹣3）（5x﹣4）＝0，

解得，

∵45°＜α＜90°，

∴sinα＞cosα，

∴sinα＝，cosα＝．