Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c（b，c 為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn) B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P（不與點(diǎn) A，B 重合）為拋物線上的一個動點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線PA，PB分別于拋物線的對稱軸交于M，N 兩點(diǎn)，設(shè)M，N 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1 ， y2 ， 求y1+y2的值；
（3）連接BC，BD，當(dāng)∠PAB=∠CBD時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A（﹣1，0），B（3，0）代入得： ，

解得：b=﹣2，c=﹣3．

拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）解：由x=﹣ 得；拋物線的對稱軸為x=1．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2﹣2a﹣3）．

設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b．

將點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得： ，解得：k=a﹣3，b=a﹣3．

∴直線PA的解析式為y=（a﹣3）x+a﹣3．

將x=1代入得：y1=2a﹣6．

設(shè)直線PB的解析式為y=k1x+b1．

將點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得：k=a+1，b=﹣3a﹣3．

∴直線PB的解析式為y=（a+1）x﹣3a﹣3．

將x=1代入得：y2=﹣2a﹣2．

∴y1+y2=﹣8．

（3）解：如圖所示：

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．

∵將x=0代入拋物線的解析式得；y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：BC=3 ，DC= ，BD=2 ．

∵BC2+DC2=BD2，

∴△BCD為直角三角形．

∴tan∠CBD= = ．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2﹣2a﹣3）．

∵∠PAB=∠CBD，

∴ = ．

整理得：a﹣3= ．

解得：a=3 或a=2 ．

∴當(dāng)a=2 時，a+1= ，則a2﹣2a﹣3= =﹣ ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）．

當(dāng)a= 時，a+1= ，則a2﹣2a﹣3= = ．

∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（ ， ）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（ ， ）

【解析】（1）用待定系數(shù)法，把A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線，求出拋物線的解析式；（2）由拋物線的對稱軸為x=1，得到直線PA的解析式和直線PB的解析式，求出y1+y2的值；（3）由拋物線的解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出BC、DC、BD的值，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△BCD為直角三角形；根據(jù)三角函數(shù)值求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).