【題目】如圖,拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交于點A,與x軸交于點B,C兩點(點C在x軸正半軸上),△ABC為等腰直角三角形,且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移,平移后的拋物線經(jīng)過點C時,與x軸的另一交點為E,其頂點為F,對稱軸與x軸的交點為H.

(1)求a,c的值;
(2)連結(jié)OF,試判斷△OEF是否為等腰三角形,并說明理由;
(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上,一直角邊始終過點E,另一直角邊與y軸相交于點P,是否存在這樣的點Q,使以點P,Q,E為頂點的三角形與△POE全等?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵△ABC為等腰直角三角形,

∴OA= BC.

又∵△ABC的面積= BC×OA=4,即OA2=4,

∴OA=2.

∴A(0,2),B(﹣2,0),C(2,0).

,

解得:


(2)

解:△OEF是等腰三角形.理由如下:如答圖1,

∵A (0,2)),B (﹣2,0),

∴直線AB的函數(shù)表達式為:y=x+2,

又∵平移后的拋物線頂點F在射線BA上,

∴設(shè)頂點F的坐標(biāo)為(m,m+2).

∴平移后的拋物線函數(shù)表達式為:y=﹣ (x﹣m)2+m+2.

∵拋物線過點C (2,0),

∴﹣ (x﹣m)2+m+2=0,解得m1=0,m2=6.

∴平移后的拋物線函數(shù)表達式為:y=﹣(x﹣6)2+8,

即y=﹣ x2+6x﹣10.

當(dāng)y=0時,﹣ x2+6x﹣10=0,

解得x1=2,x2=10.

∴E(10,0),OE=10.

又∵F(6,8),OH=6,F(xiàn)H=8.

∴OF= = =10,

∴OE=OF,即△OEF為等腰三角形.


(3)

解:存在點Q(6,2 )或(6,3)或(10,12)或(4+ ,6+ )或(4﹣ ,6﹣ ),使以P,Q,E三點為頂點的三角形與△POE全等.

理由如下:

點Q的位置分兩種情形:

情形一:點Q在射線HF上,

當(dāng)點P在x軸上方時,如答圖2.

∵△PQE≌△POE,

∴QE=OE=10.

在Rt△QHE中,QH= = =2 ,

∴Q(6,2 ).

當(dāng)點P在x軸下方時,如答圖3,有PQ=OE=10,

過P點作PK⊥HF于點K,則有PK=6.

在Rt△PQK中,QK= = =8,

∵∠PQE=90°,

∴∠PQK+∠HQE=90°.

∵∠HQE+∠HEQ=90°,

∴∠PQK=∠HEQ.

又∵∠PKQ=∠QHE=90°,

∴△PKQ∽△QHE.

,

,

解得QH=3.

∴Q(6,3).

情形二:點Q在射線AF上,

當(dāng)PQ=OE=10時,如答圖4,有QE=PO,

∴四邊形POEQ為矩形,

∴Q的橫坐標(biāo)為10.

當(dāng)x=10時,y=x+2=12,

∴Q(10,12).

當(dāng)QE=OE=10時,如答圖5.

過Q作QM⊥y軸于點M,過E點作x軸的垂線交QM于點N,

設(shè)Q的坐標(biāo)為(x,x+2),

∴MQ=x,QN=10﹣x,EN=x+2.

在Rt△QEN中,有QE2=QN2+EN2,

即102=(10﹣x)2+(x+2)2,

解得:x=4±

當(dāng)x=4+ 時,如答圖5,y=x+2=6+ ,

∴Q(4+ ,6+ ).

當(dāng)x=4﹣ 時,如答圖6,y=x+2=6﹣ ,

∴Q(4﹣ ,6﹣ ).

綜上所述,存在點Q(6,2 )或(6,3)或(10,12)或(4+ ,6+ )或(4﹣ ,6﹣ ),使以P,Q,E三點為頂點的三角形與△POE全等.


【解析】(1)由△ABC為等腰直角三角形,且面積為4,易求得OA的長,即可求得點A,B,C的坐標(biāo),然后由待定系數(shù)法求得答案;(2)首先求得直線AB的函數(shù)表達式,設(shè)頂點F的坐標(biāo)為(m,m+2),由拋物線過點C (2,0),可求得平移后的拋物線函數(shù)表達式,繼而求得點E的坐標(biāo),即可判定△OEF是等腰三角形;(3)分別情形一:從點Q在射線HF上,當(dāng)點P在x軸上方時或當(dāng)點P在x軸下方時,以及情形二:點Q在射線AF上,去分析求解即可求得答案.

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C. 120° D. 130°

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x

﹣2

﹣1

0

1

2

y

0

4

6

6

4

從上表可知,有下列說法:
①拋物線與y軸的交點為(0,6);
②拋物線的對稱軸是x=1;
③拋物線與x軸有兩個交點,它們之間的距離是 ;
④在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大.
其中正確的說法是(
A.①②③
B.②③④
C.②③
D.①④

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(理解)若點D與點A重合,則這個操作過程為FZ [45°,3];

(嘗試)

(1)若點D恰為AB的中點(如圖2),求θ;

(2)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點B落在點E處,若點E在四邊形OABC的邊AB上(如圖3),求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部,直接寫出a的取值范圍.

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