Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在半徑OB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠A=30°．

（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為1，求由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)）

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD與⊙O相切，

∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，

又∵OB=OC，

∴△OBC是正三角形，

∴∠OCB=60°，

又∵∠BCD=30°，

∴∠OCD=60°+30°=90°，

∴OC⊥CD，

又∵OC是半徑，

∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，

∵OC=1，

∴CD= ，

∴S△COD= OCCD= ，

又∵S扇形OCB= ，

∴S陰影=S△COD﹣S扇形OCB= ．

【解析】（1）由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切；（2）根據(jù)已知可求得OC，CD的長(zhǎng)，則利用S陰影=S△COD﹣S扇形OCB求得陰影部分的面積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．