Question

6．如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點O，直線AB分別與⊙O₁、⊙O₂切于點B、A，分別與x軸、y軸交于點M（2$\sqrt{3}$，0）、C（0，2）．
（1）求⊙O₂的半徑長；
（2）在直線AB上是否存在點P，使△MO₂P∽△MOB？求若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AO₂．先依據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得tan∠CMO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到∠CMO=30°，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質可求得MO=r；
（2）先求得∠BOM=30°，由相似三角形的判定定理可知∠PO₂M=30°或∠MPO₂=30°時，△OBM∽△O₂PM．當∠PO₂M=30°時，可證明點P與點C重合；當∠MPO₂=30°時，先證明△HPO₂≌△APO₂，由全等三角形的性質可求得O₂H=2$\sqrt{3}$，于是可求得點P的坐標．

解答 解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將點M與點C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=2，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．
∵tan∠CMO=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CMO=30°．
如圖1所示：連接AO₂．

∵AB與⊙O₂相切，
∴∠O₂AM=90°．
又∵∠CMO=30°，
∴MO₂=2r．
∴OM=2r-r，即r=2$\sqrt{3}$．
∴⊙O₂的半徑為2$\sqrt{3}$．
（2）如圖2所示：連接O₁B、O₂C、O₂A．

∵AB是⊙O₁的切線，
∴O₁B⊥AB．
又∵∠CMO=30°，
∴∠BO₁M=60°．
又∵O₁O=O₁B，
∴∠BOO₁=∠OBO₁．
∴∠BOM=30°．
∴當∠PO₂M=30°時，△OBM∽△O₂PM．
∵AB與⊙O₂相切，
∴∠O₂AM=90°．
又∵∠CMO=30°，
∴∠AO₂M=60°．
∵AC、OC與圓O₂相切，
∴∠CO₂M=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∴點P與點C重合．
∴此時點P的坐標為（0，2）．
如圖3所示：連接O₂A、O₂P，過點P作PH⊥x軸，垂足為H．

當∠O₂PM=30°，△OBM∽△O₂PM．
∵∠O₂PM=∠O₂MP=30°，
∴∠PO₂H=60°．
∵PH⊥x軸，
∴∠PHO₂=90°．
∴∠HPO₂=30°．
在△HPO₂和△APO₂中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HP{O}_{2}=∠AP{O}_{2}}\\{∠PH{O}_{2}=∠PA{O}_{2}}\\{P{O}_{2}=P{O}_{2}}\end{array}\right.$，
∴△HPO₂≌△APO₂．
∴O₂H=O₂A=2$\sqrt{3}$．
∴OH=4$\sqrt{3}$，PH=$\sqrt{3}$O₂H=6．
∴P（-4$\sqrt{3}$，6）．
綜上所述，點P的坐標為（-4$\sqrt{3}$，6）或（0，2）．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了切線的性質、相似三角形的判定定理、全等三角形的性質、特殊銳角三角函數(shù)值，證得△HPO₂≌△APO₂從而求得點P的坐標是解題的關鍵．