Question

【題目】如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，且，延長(zhǎng)到，使，連接．

（1）依題意將圖形補(bǔ)全；

（2）小華通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、提出猜想：在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有．經(jīng)過(guò)與同學(xué)們充分討論，形成了幾種證明的想法：

想法一：連接，證明是等腰直角三角形；

想法二：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，可得是等腰直角三角形，證明；

……

請(qǐng)參考以上想法，幫助小華證明．(寫(xiě)出一種方法即可)

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）想法一的證明見(jiàn)解析；想法二的證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）先分別在上取點(diǎn)，使得，再延長(zhǎng)到，使，然后連接即可；

（2）想法一：先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，，再根據(jù)角的和差、等量代換可得，從而可得是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)垂線(xiàn)平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)可得，由此即可得證；

想法二：先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，從而可得是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，由此即可得證．

（1）先分別在上取點(diǎn)，使得，再延長(zhǎng)到，使，然后連接，補(bǔ)全圖形如下所示：

（2）想法一：如圖，連接

四邊形ABCD是正方形

在和中，

，

，即

是等腰直角三角形

又

是線(xiàn)段FG的垂直平分線(xiàn)

；

想法二：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接HF

四邊形ABCD是正方形

在和中，

是等腰直角三角形

，即

，即

在和中，

．