Question

如圖，正方形ABCD中，O為邊BC的中點(diǎn)，⊙O與AB，CD，AF，DE相切于點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)，AB=

5

，求EF長度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：延長DE交AB于點(diǎn)G，延長FE交AB于點(diǎn)M，延長EF交DC于點(diǎn)N，連接OG、OE、OD，易證點(diǎn)E與點(diǎn)F、點(diǎn)M與點(diǎn)N都關(guān)于BC的中垂線對(duì)稱，從而有ME=FN，MN∥BC．易證MN=BC=

5

，只需求出EM即可．可證△GEO∽△OED，從而可以求出GE的長，也就得到GE與ED的數(shù)量關(guān)系，再由△EMG∽△END可求得EM與EN的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到EM與MN的數(shù)量關(guān)系，求出EM，就可求出EF的長．

解答：解：延長DE交AB于點(diǎn)G，延長FE交AB于點(diǎn)M，延長EF交DC于點(diǎn)N，連接OG、OE、OD，如圖，
∵正方形ABCD及半圓OBC都關(guān)于BC的中垂線對(duì)稱，
且半圓OBC與AB，CD，AF，DE相切于點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E，
∴由對(duì)稱性可得：點(diǎn)E與點(diǎn)F、點(diǎn)M與點(diǎn)N都關(guān)于BC的中垂線對(duì)稱．
∴ME=FN，MN∥BC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AB=DC=BC=

5

．
∴四邊形BCNM是平行四邊形．
∴MN=BC=

5

．
∵半圓OBC與AB，CD，AF，DE相切于點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E，
∴∠BGO=∠EGO，∠EDO=∠CDO，DE=DC=

5

．
∵AB∥DC，
∴∠BGE+∠CDE=180°．
∴2∠EGO+2∠EDO=180°．
∴∠EGO+∠EDO=90°．
∵半圓OBC與DE相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥DG．
∴∠GEO=∠OED=90°．
∴∠EGO+∠EOG=90°．
∴∠EOG=∠EDO．
∴△GEO∽△OED．
∴

EG

EO

=

OE

ED

．
∴EG=

OE2

ED

=

( 5 2 )2

5

=

5

4

．
∴EG=

1

4

DE．
∵AB∥DC，
∴△EMG∽△END．
∴

EM

EN

=

EG

ED

=

1

4

．
∴EM=

1

5

MN=

5

5

．
∴FN=EM=

5

5

．
∴EF=MN-EM-FN=

3 5

5

．
∴EF長度為

3 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用軸對(duì)稱及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．