Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個(gè)命題：

①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；

②若a＝﹣1，則b＝4；

③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；

④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝2時(shí)，四邊形EDFG周長的最小值為6．

其中真命題的序號(hào)是（　�。�

A. ①B. ②C. ③D. ④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號(hào)；

②根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出b的值；

③根據(jù)＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y1＞y2；

④作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標(biāo)即可解答．

①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②二次函數(shù)對(duì)稱軸為x＝﹣ ，當(dāng)a＝﹣1時(shí)有 ＝1，解得b＝3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③∵x1+x2＞2，

∴ ＞1，

又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1，

∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，

∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；

④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，

連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．

當(dāng)m＝2時(shí)，二次函數(shù)為y＝﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y＝﹣1+2+3＝4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；

則DE＝ ；D′E′＝ ；

∴四邊形EDFG周長的最小值為 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．