【題目】如圖,正方形的邊長為6,是邊上的一點,繞點逆時針旋轉后得到.三點在同一直線上.
(1)求四邊形的面積.
(2)如果點在邊上,且,試判斷之間有什么樣的數(shù)量關系?并說明理由.
(3)在(2)的條件下,若,求的長.
【答案】(1)36;(2)GE=DG+BE,理由見解析;(3)的長為3.
【解析】
(1)由旋轉的性質得△ABE≌△ADF,進而得出S四邊形AECF=S正方形ABCD,計算即可;
(2)根據(jù)旋轉的性質求出∠GAF=45°,然后利用SAS證明△AGE≌△AGF,得到GE=GF,等量代換即可求出GE=DG+BE;
(3)設DG=x,求出CG=6-x,EC=4,GE=x+2,然后在Rt△CEG中利用勾股定理構建方程,求出x即可.
解:(1)由旋轉的性質得:△ABE≌△ADF,
∴,
∴S四邊形AECF=S四邊形AECD+S△ADF=S四邊形AECD+S△ABE=S正方形ABCD=6×6=36;
(2)GE=DG+BE,
理由:由旋轉的性質得:AE=AF,BE=DF,∠BAE=∠DAF,
在正方形ABCD中,∠BAD=90°,
∵∠GAE=45°,
∴∠BAE+∠GAD=45°,
∴∠DAF+∠GAD=45°,即∠GAF=45°,
在△AGE和△AGF中,,
∴△AGE≌△AGF(SAS),
∴GE=GF,
∵GF=DG+DF,BE=DF,
∴GE=DG+BE;
(3)設DG=x,則CG=6-x,
∵BE=DF=2,
∴EC=6-2=4,GE=GF=x+2,
在Rt△CEG中,∵EC2+CG2=GE2,
∴,
解得:x=3,
即的長為3.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象的頂點為點D,其圖象與x軸的交點A,B的橫坐標分別為﹣1和3,給出下列結論:①2a﹣b=0;②a+b+c<0;③3a+c=0;④當a=時,△ABD是等腰直角三角形.其中,正確的結論有( )
A.①②③B.③④C.②③④D.②④
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【題目】如圖,(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長為4的正方形,點E在線段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點F,交BC的延長線于點N, FN⊥BC.
(1)若點E是BC的中點(如圖1),AE與EF相等嗎?
(2)點E在BC間運動時(如圖2),設BE=x,△ECF的面積為y。
①求y與x的函數(shù)關系式;
②當x取何值時,y有最大值,并求出這個最大值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形 ABCD是菱形,BC∥x 軸.AD 與 y軸交于點 E,反比例函數(shù) y=(x>0)的圖象經(jīng)過頂點 C、D,已知點 C的橫坐標為5,BE=2DE,則 k的值為( )
A.B.C.D.5
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【題目】如圖,已知二次函數(shù) y=ax2+bx 的圖象與 x 軸交于點 O(0,0)和 點 B,拋物線的對稱軸是直線 x=3.點 A 是拋物線在第一象限上的一個動點, 過點 A 作 AC⊥x 軸,垂足為 C.S△AOB=3S△ABC,AC2=OCBC.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 M.連接 AM,點 N 是線段 OA 上的一點.當 ∠AMN=∠AOM 時,求點 N 的坐標;
(3)點 P 是拋物線上的一個動點.點 Q 是 y 軸上的一動點.當以 A,B,P,Q 四個點為頂點的四邊形為平行四邊形時,直接寫出點 P 坐標.
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【題目】隨著第27屆信陽茶文化節(jié)發(fā)布會、固始西九華山第三屆郁金香風情文化節(jié)等系列活動的成功舉辦,越來越多的游客想要到信陽游玩小明所在的公司想在五一黃金周期間組織員工去信陽游玩,咨詢了甲、乙兩家旅行社,兩家旅行社分別推出優(yōu)惠方案(未推出優(yōu)惠方案前兩家旅行社的收費標準相同).甲:購買一張團體票,然后個人票打六折優(yōu)惠;乙:不購買團體票,當團體人數(shù)超過一定數(shù)量后超過部分的個人票打折優(yōu)惠,優(yōu)惠期間,公司的員工人數(shù)為x(人),在甲旅行社所需總費用為(元),在乙旅行社所需總費用為(元).、與x之間的函數(shù)關系如圖所示.
(1)甲旅行社團體票是______元,乙旅行社團體人數(shù)超過一定數(shù)量后,個人票打______折;
(2)求、關于x的函數(shù)表達式;
(3)請說明小明所在的公司選擇哪個旅行社出游更劃算.
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=﹣2x+b與反比例函數(shù)y=的圖象有兩個交點A(m,3)和B,且一次函數(shù)y=﹣2x+b與x軸、y軸分別交于點C、D.過點A作AE⊥x軸于點E;過點B作BF⊥y軸于點F,點F的坐標為(0,﹣2),連接EF,tan∠FEO=2.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求四邊形AEFD的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)與點C(0,3),連接BC,點P是直線BC是上方的一個動點(且不與B,C重合).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△PBC的面積的最大值.
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【題目】已知:△ABC是等邊三角形,點D是△ABC(包含邊界)平面內一點,連接CD,將線段CD繞C逆時針旋轉60°得到線段CE,連接BE,DE,AD,并延長AD交BE于點P.
(1)觀察填空:當點D在圖1所示的位置時,填空:
①與△ACD全等的三角形是______.
②∠APB的度數(shù)為______.
(2)猜想證明:在圖1中,猜想線段PD,PE,PC之間有什么數(shù)量關系?并證明你的猜想.
(3)拓展應用:如圖2,當△ABC邊長為4,AD=2時,請直接寫出線段CE的最大值.
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