Question

已知在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8m，M從A開始以每秒一個單位的速度向B運動，N從C出發(fā)沿C→D到A方向，以每秒2個單位速度向A運動，過N作NQ⊥DC，交AC于Q．
（1）當(dāng)t=2時，求NQ的長；
（2）設(shè)△AMQ面積為S，寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）作AE⊥CD，交CD的延長線于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合解直角三角形得出ED=

1

2

AD=4，AE=

3

2

AD=4

3

，CE=12，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得NQ．
（2）分兩種情況討論求得．

解答：解：（1）如圖1，作AE⊥CD，交CD的延長線于E，
∵在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8m，
∴∠ADE=60°，
∴ED=

1

2

AD=4，AE=

3

2

AD=4

3

，
∴CE=8+4=12，
∵CN=2×2=4，
∵AE⊥CD，NQ⊥DC，
∴AE∥NQ，
∴

NQ

AE

=

CN

CE

，
∴NQ=

4

12

×4

3

=

4 3

3

m；
（2）當(dāng)0＜t≤4時，如圖1，
∵

NQ

AE

=

CN

CE

，
∴

NQ

4 3

=

2t

12

，
∴NQ=

2 3

3

t，
∴S_△AMQ=

1

2

×AM×（AE-NQ）=

1

2

×t×（4

3

-

2 3

3

t）=-

3

3

t²+2

3

t，
即S_△AMQ=-

3

3

t²+2

3

t，（0＜t≤4）；
當(dāng)4＜t≤8時，如圖2，作AE⊥CD，交CD的延長線于E，
∵在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8m，
∴∠ADE=60°，
∴ED=

1

2

AD=4，AE=

3

2

AD=4

3

，
∴CE=8+4=12，
∵NQ⊥DC，
∴FD=

1

2

ND=

1

2

（2t-8）=t-4，
∴CF=t-4+8=t+4，
∵AE⊥CD，NQ⊥DC，
∴AE∥NQ，
∴

FQ

AE

=

CF

CE

，即

FQ

4 3

=

t+4

12

，
解得，F(xiàn)Q=

3

3

（t+4），
∴QG=AE-FQ=4

3

-

3

3

（t+4），
∴S_△AMQ=

1

2

×AM×QG=

1

2

×t×[4

3

-

3

3

（t+4）]=-

3

6

t²+2（

3

-1）t，
即S_△AMQ=-

3

6

t²+2（

3

-1）t，（4＜t≤8）

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，三角形的面積的計算等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．