Question

已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（

1

a

，

2

a

）、B（

2a

a-1

，-

1-a

a

）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)解析式并畫出圖象；
（2）設(shè)點(diǎn)C（m，n）為反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥x軸于點(diǎn)D，以CD為一邊，把C、D與A、B分別連接圍成的四邊形的面積記作S．
①直接寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
②S的值能否小于等于1．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)反比例解析式為y=

k

x

，將A、B坐標(biāo)代入就可求出a的值，從而可求出k的值，即可得到反比例解析式，然后畫出圖象即可解決問題；
（2）①由于以CD為一邊，A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形并不唯一，故需分情況討論，然后只需運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問題；
②只需運(yùn)用不等式的性質(zhì)就可解決問題．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=

k

x

，
把A和B的坐標(biāo)代入得：

1

a

•

2

a

=

2a

a-1

•（-

1-a

a

），
解得：a=-1或a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)：a=-1是方程的解，a=1是方程的增根，
∴a=-1，
∴A的坐標(biāo)是（-1，-2），B的坐標(biāo)是（1，2）．
把A（-1，-2）代入y=

k

x

，得：k=2，
則反比例函數(shù)的解析式是y=

2

x

，該圖象如圖1所示．


（2）①Ⅰ．當(dāng)m＜-1時(shí)，如圖2，

過點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，
∵點(diǎn)C（m，n）在雙曲線y=

2

x

上，∴n=

2

m

．
∴DO=CF=-m，OF=CD=-

2

m

．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-2），
∴AE=1，OE=2，EF=OE-OF=2-（-

2

m

）=2+

2

m

，
∴S_{四邊形CDOA}=S_矩形CDOF+S_梯形CFEA-S_△OEA
=-m•（-

2

m

）+

1

2

（-m+1）•（2+

2

m

）-

1

2

×1×2
=1+

1

m

-m；
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
∴S_△BOD=

1

2

×（-m）×2=-m，
∴S=S_{四邊形ACDB}=S_{四邊形CDOA}+S_△BOD
=1+

1

m

-m-m
=1+

1

m

-2m．
Ⅱ．當(dāng)m＞1時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，
同理可得：S=1-

1

m

+2m．
綜上所述：當(dāng)m＜-1時(shí)，S=1+

1

m

-2m；當(dāng)m＞1時(shí)，S=1-

1

m

+2m．
②S的值不會(huì)小于等于1．
理由如下：
當(dāng)m＜-1時(shí)，m+1＜0，m＜0，-2m＞2，
∴1+

1

m

=

m+1

m

＞0，
∴S=1+

1

m

-2m=S=（1+

1

m

）+（-2m）＞2；
當(dāng)m＞1時(shí)，m-1＞0，m＞0，2m＞2，
∴1-

1

m

=

m-1

m

＞0，
∴S=1-

1

m

+2m＞2．
綜上所述：當(dāng)m＜-1或m＞1時(shí)，S的值都大于2，不會(huì)小于等于1．

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征、運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、解分式方程、不等式的性質(zhì)等知識，運(yùn)用待定系數(shù)法是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類討論及割補(bǔ)法是解決第（2）①小題的關(guān)鍵，運(yùn)用不等式的性質(zhì)是解決第（2）②小題的關(guān)鍵．