Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的半圓O交BC于點(diǎn)E，DE⊥AB，垂足為D．

（1）求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；
（2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如果⊙O的直徑為9，cosB=，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE是⊙O的切線(xiàn)，證明見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：（1）連接AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易證.
（2）相切，連接OE，證明OE⊥DE即可，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理證明.
（3）在Rt△ABE中，可由銳角三角函數(shù)定義可求BE的長(zhǎng)；在Rt△BDE中，可由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求DE的長(zhǎng).
試題解析：（1）如圖，連接AE，
∵AC是半圓O的直徑， ∴∠AEB是直角，即AE⊥BC.
又∵AB=AC，∴BE=CE（等腰三角形三線(xiàn)合一）.∴點(diǎn)E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn).

（2）DE是⊙O的切線(xiàn)，證明如下：
如圖，連接OE，
∵BE=EC，OA=OC，∴OE∥AB.
∵AB⊥DE，∴OE⊥DE.
∴DE是⊙O的切線(xiàn).
（3）∵AC是⊙O的直徑， ∴∠AEB=∠AEC=90⁰.
∵AC=9，AB=AC，∴AB=9.
在Rt△ABE中，∵AB=9，，∴BE=3.
在Rt△BDE中， ∵，∴BD=1.
在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：.