Question

如圖，已知AB為圓O的弦，直徑MN與AB相交于圓O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D．求證：AC=BD，OC=OD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：證明題

分析：根據(jù)垂徑定理，可得EA與EB的關(guān)系，根據(jù)三角形的中位線，可得CF與FN的關(guān)系，再根據(jù)三角形的中位線，可得EC與ED的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得AC與BD的關(guān)系；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得OC與OD的關(guān)系．

解答：證明：連接CN，作OE⊥AB于E，交CN于點(diǎn)F，
∵OE⊥AB，
∴EA=EB．
∵M(jìn)C⊥AB，ND⊥AB，OE⊥AB，
∴MC‖OE‖ND．
∵OM=ON，
∴CF=FN．
∵EF∥DN，CF=FN，
∴EC=ED．
∵EA-EC=EB-ED
∴AC=BD；
在△ECO和△EDO中，

EC=ED ∠OEC=∠OED OE=OE

，
∴△ECO≌△EDO（SAS），
∴OC=OD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形的中位線是解題關(guān)鍵．