Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α得到△ADE（0°＜α＜90°）連接CE交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABD∽△ACE；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為多少時，△ACP是以AC為底邊的等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠BAD=∠CAE，根據(jù)AC=AE，AB=AD可得

AB

AC

=

AD

AE

，即可證明△ABD∽△ACE，即可解題；
（2）根據(jù)△ACP是以AC為底邊的等腰三角形易求得∠ACE=∠BAC=50°，再根據(jù)AE=AC可得∠ACE=∠AEC=50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°即可求得α的值，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠CAE=α，
∴∠BAE=α-∠BAC，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AC=AE，AB=AD，
∴

AB

AC

=

AD

AE

，
∴△ABD∽△ACE；

（2）解：∵△ACP是以AC為底邊的等腰三角形，
∴PC=PA，∠ACE=∠BAC=50°，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=50°，
∴CAE=180°-50°-50°=80°，
故當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為80°時，△ACP是以AC為底邊的等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，考查了等邊三角形底角相等、腰長相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD∽△ACE是解題的關(guān)鍵．