Question

15．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處，DF交BC于點(diǎn)E．（30°角所對的直角邊是斜邊的一半）
（1）求證：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，∠ADB=30°，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)可知∠A=∠C=90°，由翻折的性質(zhì)可知∠A=∠F=90°，從而得到∠F=∠C，依據(jù)AAS證明△DCE≌△BFE即可；
（2）△DCE≌△BFE可知：EB=DE，先求得∠CDE=30°，由30°角所對的直角邊是斜邊的一半可知ED=2EC，然后再Rt△EDC中利用勾股定理可求得EC=1，從而可求得BE=2．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠C，AB=DC．
根據(jù)折疊的性質(zhì)∠F=∠A=90°、AB=BF．
∴∠A=∠F，DC=BF．
在△DCE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DEC}\\{∠F=∠C}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BFE．
（2）由翻折的性質(zhì)可知：∠ADB=∠BDF=30°．
∵∠ADC=90°，
∴∠EDC=30°．
∴DE=2EC．
在Rt△CED中，由勾股定理得：（2EC）²-EC²=CD²，即3EC²=3．
∴CE=1．
∴DE=2．
∵△DCE≌△BFE，
∴BE=DE=2．

點(diǎn)評 本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用折疊的性質(zhì)求得∠EDC=30°是解決本題的關(guān)鍵．