【題目】如圖,拋物線的頂點坐標為C(0,8),并且經(jīng)過A(8,0),點P是拋物線上點A,C間的一個動點(含端點),過點P作直線y=8的垂線,垂足為點F,點D,E的坐標分別為(0,6),(4,0),連接PD,PE,DE.

(1)求拋物線的解析式;

(2)猜想并探究:對于任意一點P,PD與PF的差是否為固定值?如果是,請求出此定值;如果不是,請說明理由;

(3)求:①當△PDE的周長最小時的點P坐標;②使△PDE的面積為整數(shù)的點P的個數(shù).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+8;(2)PD與PF的差是定值,PD﹣PF=2;(3)①P(4,6),此時△PDE的周長最;②共有11個令S△DPE為整數(shù)的點.

【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax+h2+k

∵點C(0,8)是它的頂點坐標, ∴y=ax2+8

又∵經(jīng)過點A(8,0),

有64a+8=0,解得a=

故拋物線的解析式為:y=x2+8;

(2)是定值,解答如下:

設(shè)Pa,a2+8),則Fa,8),

D(0,6),

PD=

PF=,

PDPF=2;

(3)當點P運動時,DE大小不變,則PEPD的和最小時,PDE的周長最小,

PDPF=2,∴PD=PF+2,

PE+PD=PE+PF+2,

∴當P、EF三點共線時,PE+PF最小,

此時點PE的橫坐標都為4,

x=4代入y=x2+8,得y=6,

P(4,6),此時PDE的周長最。

過點P做PH⊥x軸,垂足為H

設(shè)Pa,a2+8)

∴PH=a2+8,EH=a-4,OH=a

SDPE=S梯形PHOD-SPHE-SDOE

=

=

=

∵點P是拋物線上點A,C間的一個動點(含端點)

∴0≤a≤8

a=6時,SDPE取最大值為13.

a=0時,SDPE取最小值為4.

即4≤SDPE≤13

其中,當SDPE=12時,有兩個點P

所以,共有11個令SDPE為整數(shù)的點.

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