【題目】在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足為M,點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn),連接AC.
(1)如圖1,若AB=3 ,BC=5,求AC的長;
(2)如圖2,點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn),MD=MC,點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn),EC=AC,連接ED并延長交BC于點(diǎn)F,且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn),求證:∠BDF=∠CEF.

【答案】
(1)∵∠ABM=45°,AM⊥BM,

∴AM=BM=ABcos45°=3 × =3,

則CM=BC﹣BM=5﹣2=2,

∴AC= = =


(2)延長EF到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接BG.

由DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM=AM,

∴△BMD≌△AMC(SAS),

∴AC=BD,

又CE=AC,

因此BD=CE,

由BF=FC,∠BFG=∠EFC,F(xiàn)G=FE,

∴△BFG≌△CFE,

故BG=CE,∠G=∠E,

所以BD=BG=CE,

因此∠BDG=∠G=∠E.


【解析】(1)先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2,再由勾股定理可得AC的長;(2)延長EF到點(diǎn)G,使得FG=EF,證△BMD≌△AMC得AC=BD,再證△BFG≌△CFE可得BG=CE,∠G=∠E,從而得BD=BG=CE,即可得∠BDG=∠G=∠E.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念,需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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A.當(dāng)P為BC中點(diǎn),△APD是等邊三角形
B.當(dāng)△ADE∽△BPE時,P為BC中點(diǎn)
C.當(dāng)AE=2BE時,AP⊥DE
D.當(dāng)△APD是等邊三角形時,BE+CD=DE

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(1)如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),∠BDC=120°,探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路:延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°,可證∠ABD=∠ACE,易證△ABD≌△ACE,得出△ADE是等邊三角形,所以AD=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路,三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是;(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),∠BDC=90°,探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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【題目】A、B兩地之間的路程為2380米,甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā),相向而行,已知甲先出發(fā)5分鐘后,乙才出發(fā),他們兩人在A、B之間的C地相遇,相遇后,甲立即返回A地,乙繼續(xù)向A地前行.甲到達(dá)A地時停止行走,乙到達(dá)A地時也停止行走,在整個行走過程中,甲、乙兩人均保持各自的速度勻速行走,甲、乙兩人相距的路程y(米)與甲出發(fā)的時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示,則乙到達(dá)A地時,甲與A地相距的路程是米.

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【題目】小李以每千克0.8元的價(jià)格從批發(fā)市場購進(jìn)若干千克西瓜到市場去銷售,在銷售了部分西瓜之后,余下的每千克降價(jià)0.4元,全部售完;銷售金額與賣西瓜千克數(shù)之間的關(guān)系如圖所示,那么小李賺了_________..

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(1)求直線AE的解析式;
(2)點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn),連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn),點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn),點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn),求KM+MN+NK的最小值;
(3)點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn),將拋物線y= x2 x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點(diǎn)D,y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點(diǎn)Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)畫出關(guān)于軸的對稱圖形;

(2)借助圖中的網(wǎng)格,請只用直尺(不含刻度)完成以下要求:(友情提醒:請別忘了標(biāo)注字母)

①在圖中找一點(diǎn),使得到邊的距離相等,且;

②在軸上找一點(diǎn),使得的周長最小,并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo).

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(1)求證:AE=GE;
(2)當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時,用含n的代數(shù)式表示 的值;
(3)若AD=4AB,且以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,求n的值.

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